Kezdőlap


Feladat:	F.3233	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baharev Ali , Harangi Viktor , Horváth András , Horváth Gábor , Juhász András , Kunszenti-Kovács Dávid , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Páles Csaba , Pogány Ádám , Poronyi Gábor , Szabadka Zoltán , Szabó Péter , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Végh A. László , Zombori Tamás
Füzet:	1999/április, 226 - 227. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Szélsőérték-feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/május: F.3233

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $f (x) = x + \frac{n}{x}$ függvényt vizsgáljuk a pozitív egész számok halmazán.

\begin{matrix} f (x) < f (x + 1) \Leftrightarrow x + \frac{n}{x} < x + 1 + \frac{n}{x + 1} \Leftrightarrow n (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) < 1 \Leftrightarrow n < x (x + 1) . \end{matrix}

Nyilvánvalóan mindig pontosan egy olyan

p

pozitív egész szám van, amelyre

\begin{matrix} p^{2} \leq n < p^{2} + p vagy p^{2} + p \leq n < {(p + 1)}^{2} . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} p + \frac{n}{p} < p + 1 + \frac{n}{p + 1}, ha n < p^{2} + p \end{matrix}

és

\begin{matrix} p + \frac{n}{p} \geq p + 1 + \frac{n}{p + 1}, ha n \geq p^{2} + p . \end{matrix}

Azaz, ha

p^{2} \leq n < p^{2} + p

, akkor

\begin{matrix} [b (n)] = [p + \frac{n}{p}] = p + [\frac{n}{p}] . \end{matrix}

Mivel

p \leq \frac{n}{p} < p + 1

, azért ebben az esetben

[\frac{n}{p}] = p

, és így

[b (n)] = 2 p

. Továbbá

\begin{matrix} 2 p < \sqrt[]{4 p^{2} + 1} \leq \sqrt[]{4 n + 1} < \sqrt[]{4 p (p + 1) + 1} = 2 p + 1, \end{matrix}

mint az feltevésünkből adódik, s innen

[\sqrt[]{4 n + 1}] = 2 p = [b (n)]

következik.
Ha pedig

p^{2} + p \leq n < {(p + 1)}^{2} < (p + 1) (p + 2)

, akkor

\begin{matrix} [b (n)] = [p + 1 + \frac{n}{p + 1}] = p + 1 + [\frac{n}{p + 1}], \end{matrix}

s mivel

p \leq \frac{n}{p + 1} < p + 1

, azért

[\frac{n}{p + 1}] = p

, és így

[b (n)] = 2 p + 1

. Továbbá

\begin{matrix} 2 p + 1 \leq \sqrt[]{4 n + 1} \leq \sqrt[]{({(p + 1)}^{2} - 1) + 1} < 2 p + 2, \end{matrix}

ahonnan

[\sqrt[]{4 n + 1}] = 2 p + 1

adódik.
Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Baharev Ali (Budapest, Apáczai Cs. J. Gyak. Gimn., 10. o.t.)