Kezdőlap


Feladat:	Gy.3231	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Babos Attila , Farkas Ágnes , Fodor Gyula , Gerencsér Balázs , Hablicsek Márton , Harangi Viktor , Horváth Illés , Kőrizs András , Kunszenti-Kovács Dávid , Leipold Diána , Nagy János , Pogátsa Attila , Somogyi Dávid , Tokodi Tünde , Tran Thanh Long , Vajk Tamás , Varjú Péter , Vígh Viktor
Füzet:	1999/április, 224 - 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/november: Gy.3231

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a feladat kérdésére a válasz tagadó. Tegyük fel, hogy vannak olyan egész $a$ , $b$ , $c$ számok, hogy mindkét egyenletnek két-két egész gyöke van: az első egyenlet egész gyökei $x_{1} \neq x_{2}$ , a másodiké $y_{1} \neq y_{2}$ . A gyökök és együtthatók összefüggése szerint

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}; x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} és y_{1} + y_{2} = - \frac{b + 1}{a + 1}; y_{1} y_{2} = \frac{c + 1}{a + 1} . \end{matrix}

Mivel az összegek és szorzatok is egész számok, így, ha

a

páros, akkor

b

és

c

is páros kell legyen, ha viszont

a

páratlan, akkor

(a + 1)

páros, tehát

(b + 1)

és

(c + 1)

is páros, azaz

b

és

c

is páratlan. Így két eset lehetséges:
a)

a

b

c

mind párosak.
Ekkor a második egyenlet

y_{1}

(egész) gyökére teljesül, hogy

\begin{matrix} (a + 1) y_{1}^{2} + (b + 1) y_{1} = - (c + 1) . \end{matrix}

A jobb oldalon páratlan szám áll. A bal oldal viszont az

y_{1}

paritásától függetlenül mindig páros, ez pedig ellentmondás.
b)

a

b

c

mind páratlanok.
Ekkor az első egyenlet

x_{1}

(egész) gyökére

\begin{matrix} a x_{1}^{2} + b x_{1} = - c . \end{matrix}

A jobb oldal most is páratlan, míg a bal mindig páros. Tehát a b) eset sem lehetséges.

Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 7. o.t.)

Varjú Péter (Szeged, Radnóti M. Kísérl. Gimn., 10. o.t.)