Kezdőlap


Feladat:	Gy.3228	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Czímer Gergő , Garai Zsolt , Nagy Gergely
Füzet:	1999/április, 222 - 223. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: Gy.3228

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyszög csúcsai $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , az átlók metszéspontja $M$ . Az ábrán egyformán jelölt szögek egyenlők, mert ugyanazon az íven nyugvó kerületi szögek. Ezért fennáll a következő két hasonlóság:

\begin{matrix} \begin{matrix} D M C ▵ & \sim A M B ▵ és & (1) \\ B M C ▵ & \sim A M D ▵ . & (2) \end{matrix} \end{matrix}

Az első esetben a hasonlóság aránya

\frac{6}{3}

, a másodikban

\frac{4}{2}

, mindkét esetben 2. Ezért (1) alapján, a

C M = a

jelöléssel

B M = 2 a

, a

D M = b

jelöléssel pedig

A M = 2 b

. (2) szerint

\frac{D M}{C M} = \frac{b}{a} = 2

, ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{A M}{M C} & = \frac{2 b}{a} = 2 \cdot 2 = 4, & (3) \\ illetve \\ \frac{D M}{M B} & = \frac{b}{2 a} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1. & (4) \end{matrix} \end{matrix}

(3) azt jelenti, hogy a

B D

átló az

A C

-t

4 : 1

arányban osztja, (4) pedig azt, hogy

A C

B D

-t

1 : 1

arányban osztja, vagyis felezi.

Garai Zsolt (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn., 10. o.t.)