Kezdőlap


Feladat:	Gy.3215	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Harangi Viktor , Kunszenti-Kovács Dávid , Takáts Marcella
Füzet:	1999/április, 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók összege, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: Gy.3215

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $n$ pozitív osztói $d_{1}$ , $d_{2}$ , $...$ , $d_{k}$ ( $k \geq 2$ egész). A feltétel szerint $σ (n) = d_{1} + d_{2} + ... + d_{k} > 2 n$ .
Ha $m = r \cdot n$ ( $r > 1$ egész), akkor $r \cdot d_{1} + r \cdot d_{2} + ... + r \cdot d_{k} > 2 r n = 2 m$ . Ha azonban $d_{i}$ osztója $n$ -nek, akkor $r \cdot d_{i}$ biztosan osztója $m$ -nek ( $i = 1$ , $...$ , $k$ ), tehát szerepel az $m$ pozitív osztói között.
Így $σ (m) \geq r d_{1} + r d_{2} + ... + r d_{k} > 2 m$ mindig teljesül, a feladat kérdésére adott válasz igenlő.

Takáts Marcella (Székesfehérvár, József A. Gimn., 9. o.t.)

Megjegyzés. Sok hibás dolgozat érkezett a

σ

függvénynek tulajdonított, valójában hamis állítások felhasználásának következtében. Két jellemző példa:

σ (m) = σ (n) + \frac{m}{n} σ (n)

(ez igaz, ha

\frac{m}{n}

prím és nem osztója

n

-nek), ill.

σ (a b) = σ (a) σ (b)

(ami csak akkor teljesül, ha

a

és

b

egymáshoz relatív prím).