Kezdőlap


Feladat:	C.523	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ábrány Miklós , Horváth László , Nagy István , Portschy Szabolcs
Füzet:	1999/április, 219 - 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: C.523

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előrebocsátjuk, hogy a táblázatok, könyvek a gömbsüveg felszínét kétféleképpen határozzák meg. Egyesek a körlap területét is hozzászámítják a felszínhez, mások nem. Először nem tekintjük a felszín részének a körlap területét, és így számítjuk ki a magasságot.
Legyen a gömb sugara $R$ , a gömbszelet sugara $ϱ$ , a gömbsüveg magassága $m$ . A gömbsüveg felszíne: $2 π R m$ .
A feladat szövege szerint:

\begin{matrix} 2 π R m = c ϱ^{2} π . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} m = \frac{c ϱ^{2}}{2 R} . \end{matrix}

(1)

O O_{1} A

derékszögű háromszögre felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:

\begin{matrix} R^{2} = ϱ^{2} + {(R - m)}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

ϱ^{2} = 2 R m - m^{2}

. Ezt helyettesítsük (1)-be, és végezzük el a kijelölt műveleteket; azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} m = \frac{2 R (c - 1)}{c} . \end{matrix}

A második esetben a gömbsüveg felszíne:

2 π R m + ϱ^{2} π

.
A feladat szövege szerint most

\begin{matrix} 2 π R m + ϱ^{2} π = c ϱ^{2} π, \end{matrix}

ahonnan

m = \frac{(c - 1) ϱ^{2}}{2 R}

.
Az előzőhöz hasonlóan

ϱ^{2}

értékét helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} m = \frac{2 R (c - 2)}{c - 1} . \end{matrix}

Horváth László (Csurgó, Nagyváthy Középiskola, 11. o.t.)

Megjegyzés. Mindkét értelmezést elfogadtuk a feladat teljes megoldásának, ha a számítás jó volt.