Kezdőlap


Feladat:	C.520	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mult Attila
Füzet:	1999/április, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometria, Koordináta-geometria, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/november: C.520

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel a gömb felszínén egy $P$ pontot, koordinátái: $x$ , $y$ , $z$ . Tudjuk, hogy a gömb sugara 3 egység, így a Pitagorasz-tétel felhasználásával felírhatjuk a következő egyenletet:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9. \end{matrix}

Ennek keressük az egész megoldásait. Az egyenlőség teljesül, ha valamelyik koordináta

+ 3

vagy

- 3

a másik kettő pedig 0, azaz

\begin{matrix} \begin{matrix} x = \pm 3, & y = 0, & z = 0, \\ y = \pm 3, & z = 0, & x = 0, \\ z = \pm 3, & x = 0, & y = 0; \end{matrix} \end{matrix}

ez összesen 6 lehetőség.
Ha a koordináták között nincsen 3, akkor kettő abszolút értéke 2 kell legyen, és ekkor a harmadik koordináta

+ 1

vagy

- 1

. A kettő darab 2-est 3-féleképpen választhatjuk meg. Ha pl.

x = y = \pm 2

(ez 4 lehetőség) és

z = \pm 1

, akkor ez összesen 8 megoldást ad. Ugyanígy lehetséges

y = z = \pm 2

és

x = \pm 1

vagy

x = z = \pm 2

és

y = \pm 1

, ami összesen 24 eset.
A gömb felületére így összesen 30 rácspont esik.

Mult Attila (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., 9. o.t.)