Kezdőlap


Feladat:	C.518	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gueth Krisztián
Füzet:	1999/április, 217 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/november: C.518

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vonjuk ki a (2) egyenletet az (1)-ből; kapjuk, hogy

\begin{matrix} x^{2} - v^{2} = (x + v) (x - v) = 0. \end{matrix}

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Az

x + v = 0

feltevés ellentmondáshoz vezet, ekkor ugyanis pl. a (3) egyenletben

0 = 2

állna. Marad, hogy

x - v = 0

, azaz

x = v

. Így

x

y

és

z

egyike sem lehet nulla.
A (3) és (4) egyenletből

x = v

helyettesítés és rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} x y = 1, azaz y = \frac{1}{x} \end{matrix}

(5)

és

\begin{matrix} x z = - 1, azaz z = - \frac{1}{x} . \end{matrix}

(6)

Ezeket helyettesítve (1)-be

\begin{matrix} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = 0, ahonnan x = \pm 1. \end{matrix}

x = 1

, akkor

y = 1

z = - 1

és

v = 1

; ha

x = - 1

, akkor

y = - 1

z = 1

és

v = - 1

.
Helyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy a kapott értékek valóban kielégítik az egyenletrendszert.

Gueth Krisztián (Szombathely, Kanizsai D. Gimn., 12. o.t.)