Kezdőlap


Feladat:	C.516	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Birkner Tamás
Füzet:	1999/április, 216 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Tetraéderek, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: C.516

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetraéder csúcsait jelölje $A$ , $B$ , $C$ és $D$ , a csúcsokkal szemközti lapok területét rendre $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ és $T_{D}$ , a hozzájuk tartozó magasságokat pedig $m_{A}$ , $m_{B}$ , $m_{C}$ és $m_{D}$ .
Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy

\begin{matrix} T_{A} \leq T_{B} \leq T_{C} \leq T_{D} . \end{matrix}

(1)

A tetraéder térfogata:

V = \frac{alapterület \cdot magasság}{3}

.
Mivel bármelyik lapot tekinthetjük alapnak, azért

\begin{matrix} T_{A} \cdot m_{A} = T_{B} \cdot m_{B} = T_{C} \cdot m_{C} = T_{D} \cdot m_{D}; \end{matrix}

ebből az (1) feltevés miatt következik, hogy

\begin{matrix} m_{A} \geq m_{B} \geq m_{C} \geq m_{D} . \end{matrix}

Mivel a tetraéderbe írt gömb a négy lap mindegyikét érinti, középpontja minden laptól sugárnyi, azaz

R

távolságra van.
Írjuk most fel a tetraéder térfogatát azon gúlák térfogatának összegeként, amelyeknek alapja a tetraéder egy-egy lapja, magassága pedig

R

. Ekkor

\begin{matrix} V = \frac{T_{A} \cdot m_{A}}{3} = \frac{T_{A} \cdot R}{3} + \frac{T_{B} \cdot R}{3} + \frac{T_{C} \cdot R}{3} + \frac{T_{D} \cdot R}{3}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} m_{A} = R \frac{T_{A} + T_{B} + T_{C} + T_{D}}{T_{A}} = R (1 + \frac{T_{B}}{T_{A}} + \frac{T_{C}}{T_{A}} + \frac{T_{D}}{T_{A}}) . \end{matrix}

(2)

Mivel az (1) feltevés szerint

T_{B}

T_{C}

és

T_{D}

egyike sem kisebb

T_{A}

-nál,

\frac{T_{B}}{T_{A}} \geq 1

\frac{T_{C}}{T_{A}} \geq 1

\frac{T_{D}}{T_{A}} \geq 1

, így (2) jobb oldalát tovább csökkentve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} m_{A} \geq 4 R = 2 d . \end{matrix}

Ezzel az állítást igazoltuk.
Egyenlőség akkor áll fenn, ha

T_{A} = T_{B} = T_{C} = T_{D}

, vagyis ha a tetraéder lapjainak területe egyenlő. Meglepő, de ebből még nem következik, hogy a tetraéder szabályos.

Birkner Tamás (Budapest, Deutsche Schule, 6. o.t.)

Megjegyzés. Sokan csak szabályos tetraéderre igazolták az állítást. (Ők 1 pontot kaptak.) A szabályos tatraéder minden magassága egyenlő:

m_{i} = 4 r

. Érdekes azonban, hogy

\sum_{i = 1}^{4} \frac{1}{m_{i}} = \frac{1}{r}

miatt

m_{i} = 4 r

minden

i

-re pontosan akkor áll fenn, ha

T_{1} = T_{2} = T_{3} = T_{4}

(

T_{i}

i

-edik lap területe). Szinte minden beküldő úgy gondolta, hogy ebből következik a tetraéder szabályos volta. Ez nem igaz, a feltétel az úgynevezett egyenlő oldalú tetraéderre is teljesül. Birkner Tamás ezért az észrevételéért kapott 6 pontot. (Az egyenlő oldalú tetraéderről bővebben olvashatunk Reiman István: A geometria és határterületei c. könyvének (Gondolat, 1986) 84. oldalán.)