A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A tetraéder csúcsait jelölje , , és , a csúcsokkal szemközti lapok területét rendre , , és , a hozzájuk tartozó magasságokat pedig , , és . Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy A tetraéder térfogata: . Mivel bármelyik lapot tekinthetjük alapnak, azért ebből az (1) feltevés miatt következik, hogy Mivel a tetraéderbe írt gömb a négy lap mindegyikét érinti, középpontja minden laptól sugárnyi, azaz távolságra van. Írjuk most fel a tetraéder térfogatát azon gúlák térfogatának összegeként, amelyeknek alapja a tetraéder egy-egy lapja, magassága pedig . Ekkor | | ahonnan | | (2) | Mivel az (1) feltevés szerint , és egyike sem kisebb -nál, , , , így (2) jobb oldalát tovább csökkentve azt kapjuk, hogy Ezzel az állítást igazoltuk. Egyenlőség akkor áll fenn, ha , vagyis ha a tetraéder lapjainak területe egyenlő. Meglepő, de ebből még nem következik, hogy a tetraéder szabályos.
Birkner Tamás (Budapest, Deutsche Schule, 6. o.t.) |
Megjegyzés. Sokan csak szabályos tetraéderre igazolták az állítást. (Ők 1 pontot kaptak.) A szabályos tatraéder minden magassága egyenlő: . Érdekes azonban, hogy miatt minden -re pontosan akkor áll fenn, ha ( az -edik lap területe). Szinte minden beküldő úgy gondolta, hogy ebből következik a tetraéder szabályos volta. Ez nem igaz, a feltétel az úgynevezett egyenlő oldalú tetraéderre is teljesül. Birkner Tamás ezért az észrevételéért kapott 6 pontot. (Az egyenlő oldalú tetraéderről bővebben olvashatunk Reiman István: A geometria és határterületei c. könyvének (Gondolat, 1986) 84. oldalán.)
|