Kezdőlap


Feladat:	C.513	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balog Krisztián , Bérces Márton , Birkner Tamás , Szalay Zsófia , Szép László , Szűcs Júlia
Füzet:	1999/április, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: C.513

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2 méteres darabok száma legyen $x$ , a 3 métereseké $y$ . Ekkor először a

\begin{matrix} 2 x + 3 y = 25, \end{matrix}

úgynevezett diofantikus egyenletet kell megoldanunk. Az egyenletből

\begin{matrix} x = \frac{25 - 3 y}{2} . \end{matrix}

Mivel egész megoldásokat keresünk,

25 - 3 y

páros. Ez azt jelenti, hogy

3 y

és így

y

is páratlan. Továbbá, mivel

x > 0

3 y < 25

. Az

y

ezért a 8-nál kisebb pozitív páratlan szám; lehetséges értékei: 1, 3, 5, 7.
Az

x

megfelelő értékei: 11, 8, 5, 2.
Az első esetben összesen 12 vezetékdarabunk van (1 darab 3 méteres és 11 darab 2 méteres), lehetséges sorrendjeik száma

\frac{12!}{1! \cdot 11!} = 12

.
A többi esetben hasonlóan:

\frac{11!}{3! \cdot 8!} = 165

\frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252

, illetve

\frac{9!}{2! \cdot 7!} = 36

-féleképpen rendezhetjük sorba a vezetékdarabokat.
Így az összes lehetséges esetek száma:

165 + 252 + 36 + 12 = 465

Balog Krisztián (Miskolc, Földes F. Gimn., 12. o.t.)