Kezdőlap


Feladat:	N.185	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Juhász András , Terpai Tamás
Füzet:	1999/március, 166 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: N.185

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tetszőleges $n$ nemnegatív egész számra legyen $u_{n}$ és $v_{n}$ az a két nemnegatív egész, amelyre ${(2 \pm \sqrt[]{3})}^{n} = u_{n} \pm v_{n} \sqrt[]{3}$ . Mivel $\sqrt[]{3}$ irracionális, ez a felírás egyértelmű.
Mivel $0 < {(2 - \sqrt[]{3})}^{n} < 2$ és

\begin{matrix} \frac{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n}}{2} < u_{n} = \frac{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n} + {(2 - \sqrt[]{3})}^{n}}{2} < \frac{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n}}{2} + 1, \end{matrix}

⌈ \frac{1}{2} {(2 + \sqrt[]{3})}^{n} ⌉

alakú számok éppen az

u_{0}, u_{1}, ...

sorozat elemei. A feladat tehát olyan polinom felírása, amelynek pozitív értékei az

u_{0}, u_{1}, ...

számok.
Megmutatjuk, hogy az

\begin{matrix} x^{2} - 3 y^{2} = 1 \end{matrix}

(1)

diofantikus egyenlet megoldásai a

(\pm u_{n}, \pm v_{n})

alakú számpárok.
Mivel

(2 + \sqrt[]{3}) (2 - \sqrt[]{3}) = 1

, tetszőleges

n

-re

\begin{matrix} u_{n}^{2} - 3 v_{n}^{2} = (u_{n} + v_{n} \sqrt[]{3}) (u_{n} - v_{n} \sqrt[]{3}) = {(2 + \sqrt[]{3})}^{n} {(2 - \sqrt[]{3})}^{n} = 1, \end{matrix}

vagyis az

(u_{n}, v_{n})

alakú számpárok valóban megoldásai (1)-nek.
A megfordításhoz elég igazolni, hogy ha

x

y

nemnegatív egészek és az

(x, y)

számpár megoldás, akkor

x + y \sqrt[]{3} = {(2 + \sqrt[]{3})}^{n}

valamilyen

n

nemnegatív egész számra.
Legyen

n

az a nemnegatív egész szám, amelyre

\begin{matrix} {(2 + \sqrt[]{3})}^{n} \leq x + y \sqrt[]{3} < {(2 + \sqrt[]{3})}^{n + 1} . \end{matrix}

(2)

Ilyen létezik, mert (1) miatt

x

és

y

nem lehet egyszerre

0

, és ezért

x + y \sqrt[]{3} \geq 1

.
Osszuk el a (2) egyenlőtlenséget

{(2 + \sqrt[]{3})}^{n}

-nel:

\begin{matrix} 1 \leq \frac{x + y \sqrt[]{3}}{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n}} < 2 + \sqrt[]{3}, \end{matrix}

(3)

ugyanakkor

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{x + y \sqrt[]{3}}{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n}} & = {(2 - \sqrt[]{3})}^{n} (x + y \sqrt[]{3}) = (u_{n} - v_{n} \sqrt[]{3}) (x + y \sqrt[]{3}) = \\ = (u_{n} x - 3 v_{n} y) + (u_{n} y - v_{n} x) \sqrt[]{3} . \end{matrix} \end{matrix}

(4)

Legyen

U = u_{n} x - 3 v_{n} y

és

V = u_{n} y - v_{n} y

. Ekkor (3) és (4) szerint

\begin{matrix} \begin{matrix} (5) 1 \leq U + V \sqrt[]{3} < 2 + \sqrt[]{3} \\ és \\ (6) U^{2} - 3 V^{2} = {(u_{n} x - 3 v_{n} y)}^{2} - 3 {(u_{n} y - v_{n} x)}^{2} = (u_{n}^{2} - 3 v_{n}^{2}) (x^{2} - 3 y^{2}) = 1 \cdot 1 = 1. \end{matrix} \end{matrix}

(6)-ot elosztva (5)-tel

\begin{matrix} 2 - \sqrt[]{3} < U - V \sqrt[]{3} \leq 1. \end{matrix}

Ezt (5)-höz hozzáadva és

2

-vel osztva

\begin{matrix} \frac{3 - \sqrt[]{3}}{2} < U < \frac{3 + \sqrt[]{3}}{2}, \end{matrix}

vagyis

U = 1

vagy

U = 2

. Az első esetben (6) alapján

V = 0

U + V \sqrt[]{3} = 1

és

u + v \sqrt[]{3} = {(2 + \sqrt[]{3})}^{n}

. A második esetben (5) alapján

- \frac{1}{\sqrt[]{3}} \leq V < 0

, ami nem lehetséges.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy az (1) egyenlet megoldásai a

(\pm u_{n}, \pm v_{n})

alakú számpárok.
Tekintsük most a következő polinomot:

\begin{matrix} P (x, y) = x - (x^{2} + 1) {(x^{2} - 3 y^{2} - 1)}^{2} . \end{matrix}

Megmutatjuk, hogy ennek nemnegatív értékei pontosan az

u_{0}, u_{1}, ...

számok.
Tetszőleges

n

nemnegatív egészre, mivel

u_{n}^{2} - 3 v_{n}^{2} - 1 = 0

P (u_{n}, v_{n}) = u_{n}

. A

P

polinom értékkészletében tehát szerepelnek az

u_{0}

u_{1}

...

számok.
Ha az

x

y

egész számokra

x^{2} - 3 y^{2} - 1 \neq 0

, akkor

\begin{matrix} P (x, y) \leq x - (x^{2} + 1) < 0. \end{matrix}

Ha viszont

x^{2} - 3 y^{2} - 1 = 0

, akkor a segédtétel miatt

x = u_{n}

vagy

x = - u_{n}

valamilyen

n

-re. Az első esetben

P (x, y) = u_{n}

, a második esetben

P (x, y) < 0

.
A

P

polinom tehát megfelelő.

Juhász András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn, 12. o.t.)

Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn, 12. o.t.) dolgozata alapján