A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelölje az első darab olyan nemnegatív egészet, amelynek a hármas számrendszerbeli alakja csupa 0-s és 1-es számjegyekből áll. Ezekre fogjuk belátni, hogy teljesítik a feladat követelményeit. Bebizonyítjuk, hogy e számok között nincs 3 különböző tagból álló számtani sorozat. Tegyük fel indirekte, hogy . Az kiszámításánál a műveleteket helyiértékenként végezhetjük el, hiszen nincs ,,átvitel''. Az eredmény minden helyiértéknél 0 vagy 2 lesz, jegyei ilyenek. De ez azt jelenti, hogy -ben egy helyiértéken 1-es akkor és csak akkor állhat, ha ugyanazon helyiértékén is 1-es áll. Ekkor , ami ellentmondás. Tegyük fel, hogy (, azaz . Ekkor | | így elég lenne azt igazolni, hogy ; sőt, ehhez már az is elég, ha teljesül, ugyanis . Vegyük észre, hogy megkapható úgy, hogy -et felírjuk 2-es számrendszerben, és ezt 3-as számrendszerben olvassuk ki. Ebből adódik, hogy , és ha , akkor . Ezután egyenlőtlenséget teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha vagy 2, akkor az állítás igaz. Tegyük fel, hogy igaz minden, az -nél kisebb egészre; ekkor legyen , ahol . Az indukciós feltevés szerint ; felhasználva, hogy és esetén : | |
|