Jelöljük az adott kör középpontját $O$-val, sugarát pedig $r$-rel. Egy, a körön kívül elhelyezkedő $P$ pontnak a körtől való távolsága a definícióból következően ekkor $PO-r$ (1. ábra). Egy $P$ pontnak és az adott négyzetnek a távolságát bonyolultabb meghatározni. A négyzet oldalegyenesei a síkot 9 részre osztják. A négyzet belsején kívül 4 olyan síkrész van (a 2. ábrán az I‐IV. jelűek), amelyiknek a négyzettel csak egy közös pontja van, 4 síkrész pedig (az V‐VIII. jelűek) egy-egy oldallal csatlakozik a négyzethez. Az első típusú síkrészekben lévő $P$ esetén $P$-nek a megfelelő négyzetcsúcstól való távolsága a keresett távolság, a második típusú síkrészben pedig $P$-nek a megfelelő oldaltól való távolsága.
Ha az $A$ négyzetcsúcshoz tartozó síkrészben lévő $P$ pont egyenlő távol van a körtől és a négyzettől, akkor az eddigiekből következően $PO-r=PA$, vagyis $PO-PA=r$. Tehát $P$ rajta van egy $O$ és $A$ fókuszú hiperbolának az $A$-hoz közelebbi ágán. Megfordítva, ennek a hiperbolaágnak mindegyik az $A$-hoz tartozó síkrészben lévő $H$ pontjára teljesül, hogy $HA=HO-r$, vagyis $H$ egyenlő távolságra van a körtől és a négyzettől.
Ha a négyzet $a$ oldalához tartozó síkrészben keressük a megfelelő $P$ pontokat, akkor $PO-r=d\left(P\mathrm{,}a\right)$, ahol $d\left(P\mathrm{,}a\right)$ jelöli $P$ és $a$ távolságát. Legyen $a\text{'}$ az az $a$-val párhuzamos, tőle $r$ távolságra lévő egyenes, amit $a$ elválaszt $P$-től (3. ábra). Ekkor $d\left(P\mathrm{,}a\text{'}\right)=d\left(P\mathrm{,}a\right)=d\left(P\mathrm{,}a\right)+r$, vagyis ha $P$ megfelelő pont, akkor $PO=d\left(P\mathrm{,}a\text{'}\right)$, tehát $P$ rajta van egy $O$ fókuszú, $a\text{'}$ vezéregyenesű parabolán. Megfordítva, ennek a parabolának minden olyan pontja, amelyik az $a$-hoz tartozó síkrészben van, nyilván egyenlő távolságra van a körtől és a négyzettől.
A keresett ponthalmaz tehát egy parabola- és hiperbolaívekből álló görbe. Ha $r$ nagyobb, mint a négyzet oldala, akkor a 8 lehetséges síkrész közül csak egyben (a 4. ábrán satírozott részben) nincs pont, minden itteni pont nyilván közelebb van a négyzethez, mint a körhöz. A keresett görbe az 5. ábrán látható. Ha $r$ nem nagyobb, mint a négyzet oldala, akkor a 8 síkrész közül háromban (a 6. ábrán satírozott részekben) nincs pontja a görbének, mert az ábrán jelölt szögek tompaszögek, ezért a síkrészek minden pontja közelebb van a négyzethez, mint a körhöz. A keresett görbe a 7. ábrán látható.