Kezdőlap


Feladat:	F.3240	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Györey Bernadett , Horváth András , Kiss Gergely , Naszódi Gergely , Pataki Péter
Füzet:	1999/március, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: F.3240

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $a ∣ b^{2} + b + 1$ és $b ∣ a^{2} + a + 1$ , akkor $a$ és $b$ relatív prímek. Ha ugyanis $a$ és $b$ legnagyobb közös osztója $d$ , akkor $d ∣ a$ , illetve $a ∣ b^{2} + b + 1$ miatt $d ∣ 1$ . Mivel $a^{2} + b^{2} + a + b + 1$ osztható az egymáshoz relatív prím $a$ -val és $b$ -vel, osztható $a b$ -vel is.
Megfordítva, ha $a^{2} + b^{2} + a + b + 1$ osztható $a b$ -vel, akkor nyilván teljesülnek a feladatban szereplő oszthatóságok is. Összefoglalva: $a ∣ b^{2} + b + 1$ és $b ∣ a^{2} + a + 1$ akkor és csak akkor teljesül, ha $a b ∣ a^{2} + b^{2} + a + b + 1$ .
Legyen az $n$ pozitív egész, és tekintsük az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + x + y + 1 = n x y \end{matrix}

(1)

egyenletet. Azt állítjuk, hogy ha ennek van egy pozitív egészekből álló megoldása, akkor végtelen sok van. Tegyük fel, hogy

(x_{0}, y_{0})

egy megoldása (1)-nek és

x_{0} \leq y_{0}

. Ha (1)-et paraméteres másodfokú egyenletnek tekintjük, amelyben

x

az ismeretlen, akkor az egyenlet egyik gyöke

x_{0}

, a másik pedig a gyökök és együtthatók közti összefüggés alapján

\begin{matrix} x_{1} = n y_{0} - 1 - x_{0} = \frac{y_{0}^{2} + y_{0} + 1}{x_{0}} . \end{matrix}

Az első formula alapján ez a gyök is egész, a második alapján pedig pozitív, sőt

\begin{matrix} x_{1} = \frac{y_{0}^{2} + y_{0} + 1}{x_{0}} > \frac{y_{0}^{2}}{y_{0}} = y_{0} . \end{matrix}

Az (1) egyenletnek ezért az

(x_{1}, y_{0})

számpár egy újabb, pozitív egészekből álló megoldása, amelyben a két szám összege nagyobb, mint az előzőben:

x_{1} + y_{0} > x_{0} + y_{0}

. A megoldások között nincs tehát olyan, amelyben a két ismeretlen összege maximális.
Végül ha

n = 5

, akkor (1)-nek van is megoldása, például

x = y = 1

. Az előbbiek alapján ebből következik, hogy végtelen sok olyan

(a, b)

számpár van, amelyre

a^{2} + b^{2} + a + b + 1 = 5 a b

, amivel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzések. 1. A feladat rokonságot mutat a KöMaL N.67. feladattal, amelynek megoldása megtalálható az 1996/4. számban. Ott azt kellett igazolni, hogy végtelen sok pozitív

(m, n)

számpár létezik, amelyre

n ∣ m^{2} + 1

és

m ∣ n^{2} + 1

. Az egyik megoldás ugyanúgy megy, mint ennél a feladatnál.
2. Tekintsük az

f_{1} = f_{2} = 1

kezdőelemekkel definiált

f_{n} = 5 f_{n - 1} - f_{n - 2} - 1

sorozatot. Nem nehéz igazolni (pl. teljes indukcióval), hogy tetszőleges

k

pozitív egész esetén

\begin{matrix} f_{k}^{2} + f_{k} + 1 = f_{k - 1} \cdot f_{k + 1} . \end{matrix}

Ekkor viszont igaz, hogy

\frac{f_{k}^{2} + f_{k} + 1}{f_{k + 1}} = f_{k - 1} \in Z

és

\frac{f_{k + 1}^{2} + f_{k + 1} + 1}{f_{k}} = f_{k + 2} \in Z

, tehát a sorozat

(f_{k}, f_{k + 1})

számpárjai is megfelelőek, amiből szintén következik, hogy végtelen sok megfelelő számpár van. (Továbbá más

n

-re nincs megoldása, és ezek adják az összes megoldást.)
3. A feladatot általánosíthatjuk a következő módon: bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan

a

b

pozitív egész szám van, amelyre adott pozitív egész

k

esetén

a ∣ b^{2} + k b + 1

és

b ∣ a^{2} + k a + 1

k = 1

esetén kapjuk az eredeti feladatot,

k = 0

esetén pedig az 1. megjegyzés feladatát. A fentiekhez hasonlóan lehet belátni ezt az állítást is.

Pataki Péter (Miskolc, Földes F. Gimn., 12. o.t.)