Kezdőlap


Feladat:	F.3238	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth András , Mansur Boase , Máthé András , Mecz Balázs , Szép László , Tóth Ágnes
Füzet:	1999/március, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Számtani közép, Kvadratikus közép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: F.3238

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel a számtani és a négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget az $| a |$ , $| 1 - b |$ ; $| b |$ , $| 1 - c |$ ; $| c |$ , $| 1 - a |$ számpárokra:

\begin{matrix} \begin{matrix} \sqrt[]{\frac{a^{2} + {(1 - b)}^{2}}{2}} & \geq \frac{| a | + | 1 - b |}{2} \geq \frac{a + 1 - b}{2}, \\ \sqrt[]{\frac{b^{2} + {(1 - c)}^{2}}{2}} & \geq \frac{| b | + | 1 - c |}{2} \geq \frac{b + 1 - c}{2}, \\ \sqrt[]{\frac{c^{2} + {(1 - a)}^{2}}{2}} & \geq \frac{| c | + | 1 - a |}{2} \geq \frac{c + 1 - a}{2} . \end{matrix} \end{matrix}

E három egyenlőtlenség

\sqrt[]{2}

-szeresét összeadva éppen a kívánt állítást kapjuk.
Az egyenlőségnek az a feltétele, hogy külön-külön mindenütt egyenlőség álljon, azaz

| a | = | 1 - b |

| b | = | 1 - c |

| c | = | 1 - a |

és

a

b

c \geq 0

teljesüljön. Ez pontosan azt jelenti, hogy

a = b = c = \frac{1}{2}

Horváth 472 András (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak. Gimn., 12. o.t.)