Feladat: Gy.3227 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Deli Lajos ,  Erdei Zsuzsa ,  Eördegh Péter ,  Győző Miklós ,  Hablicsek Márton ,  Kucsera Dénes ,  Reiczigel Zsófia ,  Sára Péter ,  Somogyi Dávid ,  Szalay Zsófia ,  Tóth Ágnes 
Füzet: 1999/március, 153 - 154. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt háromszög, Trapézok, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/október: Gy.3227

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ABCD trapéz AB oldala átmérő. Rajzoljuk be az EFG egyenlő szárú háromszöget, amelyben GF‖AB és GE‖BC (1. ábra), D vetülete az átmérőn P. Tegyük fel először, hogy a G pont az AB átmérő ,,fölötti'' nyitott íven van (az A és B pontokat nem számítjuk hozzá az ívhez). Mivel a háromszög egyenlő szárú, a GT szögfelező párhuzamos lesz DP-vel és átmegy a kör O középpontján, ezért GT a két alakzat közös szimmetriatengelye. Így EF párhuzamos lesz AB-vel, amiért az A, E és F csúcsoknál lévő α-val jelölt szögek egyenlők. Felhasználva, hogy ADB∢=90∘, a merőleges szárú szögekre vonatkozó tétel révén BDP∢=DAP∢=α, és így BDP▵∼GET▵.
Megmutatjuk, hogy ez a két háromszög egybevágó. A GE húr az F pontból α szögben látszik, és ugyancsak α szögben látjuk a BD húrt A-ból. Ezért GE=BD, ami már elegendő az egybevágósághoz. A DPBQ téglalap egyenlő területű a trapézzal, területe a BDP háromszög területének kétszerese, és ugyanez vonatkozik az EFG háromszögre. Tehát a két alakzat területe egyenlő.
Hasonló a megoldás, ha G az AB átmérő ,,alatti'' nyitott AB íven van. Ekkor G szerepét az 1. ábrán G'-vel jelölt pont veszi át. Végül megemlítjük, hogy a párhuzamosság fogalmát szigorúan véve (két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk), G nem eshet egybe A-val vagy B-vel, mert akkor nem teljesülne a háromszög-szárak és a trapéz-szárak párhuzamossága (lásd még a megjegyzést).
 Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 7. o.t.)

 
Megjegyzés. Győző Miklós (Budapest, Berzsenyi D. Gimn.) Megmutatta, hogy a feladat állítása a párhuzamosság vektoroknál szokásos tágabb értelmezése esetén nem teljesül. Legyen ugyanis ABCDEFGH egy szabályos nyolcszög (2. ábra). Ennek szemközti oldalai párhuzamosak, tehát GH‖DC. Az FDCG trapéz és a GHF egyenlő szárú háromszög megfelel a feltételeknek (ha az egy egyenesbe eső oldalakat is párhuzamosnak tekintjük), területük mégsem egyenlő.