Kezdőlap


Feladat:	Gy.3220	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdei Zsuzsa , Harangi Viktor
Füzet:	1999/március, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: Gy.3220

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábrák jelöléseit. Feltesszük, hogy a húrtrapéz konvex. A feltételeknek két különböző típusú trapéz is megfelelhet, ha $b$ nem átmérő (lásd 1. és 2. ábra). A feladat kérdésére úgy adunk választ, hogy kifejezzük a trapéz területét $a$ -val és $b$ -vel.
A $45^{\circ}$ -os kerületi szög révén az $A_{1} O_{1} B_{1} ∢ = A_{2} O_{2} B_{2} ∢ = 90^{\circ}$ . Ezért $O_{1} T_{1} = O_{2} T_{2} = \frac{a}{2}$ , a kör sugara pedig $r = \frac{a}{\sqrt[]{2}}$ . A Pitagorasz-tétel alapján

\begin{matrix} O_{1} P_{1} = \sqrt[]{\frac{a^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}} = \frac{\sqrt[]{2 a^{2} - b^{2}}}{2}, \end{matrix}

és így például az 1. ábra trapézának magassága:

\begin{matrix} T_{1} P_{1} = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt[]{2 a^{2} - b^{2}}}{2} = \frac{a - \sqrt[]{2 a^{2} - b^{2}}}{2} . \end{matrix}

Hasonlóan kapjuk, hogy

T_{2} P_{2} = \frac{a + \sqrt[]{2 a^{2} - b^{2}}}{2}

. A trapéz területe

\begin{matrix} t_{1} = \frac{(a + b) (a - \sqrt[]{2 a^{2} - b^{2}})}{4} vagy t_{2} = \frac{(a + b) (a + \sqrt[]{2 a^{2} - b^{2}})}{4} . \end{matrix}

b

a kör átmérője, akkor

b = \frac{2 a}{\sqrt[]{2}}

, azaz

\sqrt[]{2 a^{2} - b^{2}} = 0

. Ilyenkor

t_{1} = t_{2} = \frac{a (a + b)}{4}

Erdei Zsuzsa (Hajdúszoboszló, Hőgyes. E. Gimn., 9. o.t.)