Elegendőzt bizonyítani, hogy nem lehet mindkét háromszög $O$-nál lévő szöge hegyesszög. Ha ugyanis pl. az $AOB\sphericalangle$ tompaszög (vagy derékszög) (1. ábra), akkor a körülírt kör $K$ középpontja a háromszögön kívül (vagy a határán) lesz, mégpedig az $AB$ egyenes által határolt félsíkok közül abban, amelyik az $O$-t nem tartalmazza. Így ekkor $OK\ge r$.
Ezután megmutatjuk, hogy az $AOB\sphericalangle$ vagy $COD\sphericalangle$ egyike legalább derékszög. A 2. ábra alapján könnyen látható, hogy a beírt kör négy sugara négy deltoidra bontja a konvex négyszöget, és a deltoidok egyik átlója szögfelező. Ezért $2\alpha +2\beta +2\gamma +2\delta ={360}^{\circ }$, amiből $\alpha +\beta +\gamma +\delta ={180}^{\circ }$. Így $AOB\sphericalangle +COD\sphericalangle ={180}^{\circ }$, tehát a két szög valamelyike legalábbb ${90}^{\circ }$.