Kezdőlap


Feladat:	Gy.3218	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Árvay Eszter , Béky Bence , Bertus-Barcza Tímea , Bíró Ádám , Dumitrasc Alina Lavinia , Erdei Zsuzsa , Fehér István , Gál Balázs , Galambos Ildikó , Germán Tibor , Harangi Viktor , Hauser Edit , Ignácz Melinda , Kisfügedi Viktória , Kunszenti-Kovács Dávid , Kurcz Éva , Moldvai Levente , Nagy Péter , Nagy Tamás , Nagy Zoltán , Papp Diána , Somogyi Dávid , Soós Károly , Szebenyi Zoltán , Szekeres Balázs , Szente Dávid , Szilágyi Tamás , Szintai Balázs , Szűcs Zsófia , Tamás Krisztina , Toka László , Vajk Tamás , Víg Róbert
Füzet:	1999/március, 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Hasonlósági transzformációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: Gy.3218

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Az $A P$ és $B P$ másik metszéspontja a $k$ körrel rendre $D'$ és $C'$ . A $P A B$ és $P C' D'$ háromszögek hasonlóak, mert $P A B ∢$ és $P C' D' ∢$ egyazon íven nyugvó kerületi szögek, másrészt a $P$ -nél lévő csúcsszögek is egyenlők. A szögek elrendezése miatt pedig a $P A B$ és a $P C' D'$ háromszögek körüljárása ellentétes. Tükrözzük ezért a $P C' D'$ háromszöget a $P O$ egyenesre. $C'$ és $D'$ tükörképe legyen $C$ , illetve $D$ . A $P C D$ háromszög hasonló a $P A B$ háromszöghöz, és a körüljárásuk most már megegyező. A feladat mindig megoldható, ha $P$ nem illeszkedik $A B$ -re.

Szekeres Balázs (Szolnok, Kodály Z. Ált. Isk., 8. o.t.)

Megjegyzés. A

P C D

háromszög az egyetlen megoldás. Tegyük fel ugyanis, hogy létezik egy másik olyan

P E F

háromszög, amely megfelel a feladat feltételeinek. Tükrözzük ezt a háromszöget

P O

-ra, és például

E

tükörképe legyen

E'

. Tekintsük a

P

középpontú

\frac{P E'}{P C'}

arányú

C' P E'

szögű forgatva nyújtást. Ez a transzformáció a

P C' D'

háromszöget a

P E' F'

háromszögbe viszi át, de a

k

kört is elforgatja, hiszen

O

és

P

különbözőek. Ezért az

F'

pont nem lehet a

k

körön. Ez az ellentmondás azt mutatja, hogy nincs másik megoldás.