Válasszuk ki az $A$ és $B$ rácspontokat úgy, hogy azok távolsága nagyobb legyen, mint $2\cdot \left({10}^{1998}+1\right)\cdot 1998$, és jelöljük az $AB$ szakasz felező merőlegesét $f$-fel. Az $A$, $B$ pontokat összekötő út tartalmaz legalább egy olyan élt, amelynek van közös pontja $f$-fel; legyen $CD$ egy ilyen él.
A $CD$ szakasz és $f$ közös pontja $\left({10}^{1998}+1\right)\cdot 1998$-nál nagyobb távolságra van $A$-tól és $B$-től is, a hossza pedig legfeljebb 1998, ezért a $C$ és $D$ pontok távolsága $A$-tól és $B$-től is nagyobb, mint ${10}^{1998}\cdot 1998$.
Ha a $CD$ élt elhagyjuk a gráfból, a gráf két komponensre esik szét. Színezzük ki a pontokat pirosra és kékre aszerint, hogy melyik komponensbe esnek. Az $A$ és $B$ pontokat összekötő út tartalmazta a $CD$ élt, ezért $A$ és $B$ különböző színűek.
Rajzoljunk $C$ körül egy ${10}^{1998}\cdot 1998$ sugarú kört. Az $A$ és $B$ pontok ezen kívül vannak, és különböző színűek. Kössük össze az $A$ és $B$ pontokat egy olyan töröttvonallal, amelynek minden éle két szomszédos rácspontot köt össze, és teljes egészében a körön kívül halad. Mivel a töröttvonal két vége különböző színű, van olyan éle, amely egy piros és egy kék rácspontot köt össze; legyenek ezek $P$ és $K$. A gráfban $P$ és $K$ pontokat összekötő útnak tartalmaznia kell a $CD$ élt, mivel $P$ és $K$ különböző színűek (azaz $CD$ elhagyásával különböző komponensbe kerülnek). Mivel $P$ és $K$ a körön kívül vannak, az őket összekötő út éleinek hossza összesen legalább $PC+CK\ge 2\cdot {10}^{1998}\cdot 1998$, ezért a $P$ és $K$ szomszédos rácspontokat összekötő út legalább $2\cdot {10}^{1998}$ élből áll.