A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a három pont , és . Ha valamelyik kettő egybeesik, akkor ezek köré ugyanakkora sugarú köröket rajzolva elérhetjük, hogy legyen olyan pont, amelyen három kör is átmegy. A továbbiakban ezért feltesszük, hogy , és különbözőek, valamint a szakasz belsejében helyezkedik el. Legyen és , és vizsgáljuk meg, hogy , , köré egy , , illetve sugarú kört rajzolva, a három kör mikor megy át egy ponton. Legyen a körüli sugarú és a körüli sugarú kör metszéspontja . Ahhoz, hogy ez a metszéspont létrejöjjön, szükséges és elégséges, hogy teljesüljenek a háromszög-egyenlőtlenségek az , és számokra. Tegyük fel, hogy a körüli, sugarú kör is átmegy -n. Felírva a koszinusztételt a és háromszögekre, | | ami rendezve a | | (1) | alakba írható. Legyen . Rajzoljuk meg körül az | | sugarú köröket, körül az | | sugarú köröket, körül pedig az | | sugarú köröket. Ezzel a választással és az , , , számokon, pedig a , , , számokon fut végig. Az , és számokra mindig teljesülnek a megfelelő háromszög-egyenlőtlenségek, mert | | Az egy ponton átmenő körhármasoknak a száma tehát megegyezik az egyenlet azon megoldásainak számával, amelyekben , és . Az ilyen számhármasok száma | | Mivel minden ilyen számhármashoz két metszéspont tartozik, összesen több, mint olyan pont van, amelyen három kör megy át. A feladat állítása tehát igaz a választással.
Megjegyzés. Az előbbi konstrukciót módosítva, az | | választással azoknak a pontoknak a száma, amelyeken három kör megy át, lesz ha páros, és ha paratlan. Azt is be lehet bizonyítani, hogy ennél több már nem érhető el. A legnagyobb érték tehát, amivel az állítás igaz, a .
Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.) dolgozata alapján |
|