|
Feladat: |
F.3215 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Csikvári András , Gáli Gergely , Gáspár Merse Előd , Gelencsér Gábor , Harangi Viktor , Hartmann Miklós , Hegedűs Péter , Homolya Dániel , Horváth András , Horváth Gábor , Kunszenti-Kovács Dávid , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Lovrics Anna , Mecz Balázs , Oláh Szabolcs , Pataki Péter , Pogány Ádám , Sarlós Ferenc , Szécsi Vajk , Vaik István , Vidor Anna , Zawadowski Ádám |
Füzet: |
1999/február,
95 - 96. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1998/február: F.3215 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nyilvánvalóan teljesül az egyenlőtlenség. A zárójelet felbontva adódik, hogy . miatt innen Szorozzuk össze a kapott egyenlőtlenségeket , 2, , -re, rendezzük át a szorzatban a nevezők sorrendjét, majd alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget. Ezt nyilván megtehetjük, mert minden mennyiség pozitív. | | Innen -edik gyökvonással és átrendezéssel kapjuk, hogy | | ami éppen a bizonyítandó állítás. Az egyenlőséghez szükséges, hogy teljesüljön , azaz . Ezt behelyettesítve látható, hogy az egyenlőség ekkor valóban fenn is áll.
Megjegyzés. A megoldásból egyszerűen látszik a következő általánosítás is: ha a , , , számok az , , , valamilyen permutációja, akkor | |
|
|