Kezdőlap


Feladat:	F.3215	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csikvári András , Gáli Gergely , Gáspár Merse Előd , Gelencsér Gábor , Harangi Viktor , Hartmann Miklós , Hegedűs Péter , Homolya Dániel , Horváth András , Horváth Gábor , Kunszenti-Kovács Dávid , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Lovrics Anna , Mecz Balázs , Oláh Szabolcs , Pataki Péter , Pogány Ádám , Sarlós Ferenc , Szécsi Vajk , Vaik István , Vidor Anna , Zawadowski Ádám
Füzet:	1999/február, 95 - 96. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/február: F.3215

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvalóan teljesül az ${(a_{i} - 2 k)}^{2} \geq 0$ egyenlőtlenség. A zárójelet felbontva adódik, hogy $a_{i}^{2} \geq 4 k a_{i} - 4 k^{2} = 4 k (a_{i} - k)$ .
$a_{i} > k$ miatt innen

\begin{matrix} \frac{a_{i}^{2}}{a_{i} - k} \geq 4 k . \end{matrix}

Szorozzuk össze a kapott egyenlőtlenségeket

i = 1

, 2,

...

n

-re, rendezzük át a szorzatban a nevezők sorrendjét, majd alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget. Ezt nyilván megtehetjük, mert minden mennyiség pozitív.

\begin{matrix} \begin{matrix} 4^{n} k^{n} \leq \frac{a_{1}^{2}}{a_{1} - k} \cdot \frac{a_{2}^{2}}{a_{2} - k} \cdot ... \cdot \frac{a_{n}^{2}}{a_{n} - k} = \frac{a_{1}^{2}}{a_{2} - k} \cdot \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} - k} \cdot ... \cdot \frac{a_{n}^{2}}{a_{1} - k} \leq \\ \leq {(\frac{\frac{a_{1}^{2}}{a_{2} - k} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} - k} + ... + \frac{a_{n}^{2}}{a_{1} - k}}{n})}^{n} . \end{matrix} \end{matrix}

Innen

n

-edik gyökvonással és átrendezéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} 4 k n \leq \frac{a_{1}^{2}}{a_{2} - k} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} - k} + ... + \frac{a_{n}^{2}}{a_{1} - k}, \end{matrix}

ami éppen a bizonyítandó állítás. Az egyenlőséghez szükséges, hogy teljesüljön

{(a_{i} - 2 k)}^{2} = 0

, azaz

a_{i} = 2 k

. Ezt behelyettesítve látható, hogy az egyenlőség ekkor valóban fenn is áll.

Megjegyzés. A megoldásból egyszerűen látszik a következő általánosítás is: ha a

b_{1}

b_{2}

...

b_{n}

számok az

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

valamilyen permutációja, akkor

\begin{matrix} 4 k n \leq \frac{a_{1}^{2}}{b_{1} - k} + \frac{a_{2}^{2}}{b_{2} - k} + ... + \frac{a_{n}^{2}}{b_{n} - k} . \end{matrix}