Kezdőlap


Feladat:	Gy.3217	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Arató Orsolya , Babos Attila , Bartha Ágnes , Bence Virág , Bohák András , Bokros Krisztián , Csikvári Péter , Csiszár Gábor , Dénes Attila , Devecsery Ágnes , Dombai Péter , Dőrr Zsuzsanna , Fodor Gyula , Gáspár Merse Előd , Görföl Tamás , Hablicsek Márton , Harangi Viktor , Kisfügedi Viktória , Kiss Gergely , Lang Péter , Leipold Diána , Lovrics Anna , Majtényi Gergő , Mándy Péter , Paál Csaba , Papp Dávid , Rácz Judit , Szalay Zsófia , Taraza Busra , Terjéki László Dénes , Tran Thanh Long , Újvári Gergely , Urr Beáta , Varga Veronika , Varjú Péter , Venter György , Zábrádi Gergely
Füzet:	1999/február, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: Gy.3217

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $(x, y)$ egész megoldása a fenti egyenletrendszernek, akkor nyilván $(- x, y)$ , $(- x, - y)$ és $(x, - y)$ is megoldásai, tehát feltehetjük, hogy $x > 0$ , $y > 0$ . Másrészt a két egyenletből nyilvánvaló, hogy $y > x$ és hogy $p > y$ , tehát $p > x$ is, azaz $2 p > x + y$ .
Vonjuk ki eredeti második egyenletünkből az elsőt:

\begin{matrix} p^{2} - p = 2 (y^{2} - x^{2}) \end{matrix}

innen

\begin{matrix} p \cdot \frac{p - 1}{2} = (y + x) (y - x) . \end{matrix}

(1)

Mivel

p = 2

esetén nincs a fenti egyenletrendszernek egész megoldása, így

p

páratlan, tehát

\frac{p - 1}{2}

egész. Mivel

p

prím, így a jobb oldali szorzat valamelyik tényezőjének osztója kell, hogy legyen.
A

p

nem lehet osztója

(y - x)

-nek, hiszen láttuk, hogy

0 < y - x < y < p

. Ezért biztosan

(y + x)

-nek osztója

p

, tehát

x + y = k \cdot p

(

k \geq 1

egész). A megoldás elején viszont megállapítottuk, hogy

2 p > x + y

, így csak

k = 1

lehet. Tehát

x + y = p

, és így

y - x = \frac{p - 1}{2}

kell, hogy legyen. Ezt a két egyenletet összeadva

2 y = p + \frac{p - 1}{2}

-ből

y = \frac{3 p - 1}{4}

. Ezt a második egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} p^{2} + 1 = 2 \cdot \frac{{(3 p - 1)}^{2}}{16}, \end{matrix}

amit átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} p^{2} - 16 p - 7 = 0. \end{matrix}

Ennek megoldásai

p_{1} = 7

p_{2} = - 1

. Közülük a

p = 7

prím, így csak ebben az esetben van az eredeti egyenletrendszernek egész megoldása (

x = \pm 2

y = \pm 5

Megjegyzés. Nagyon sok versenyző az (1) egyenlethez eljutva, minden egyéb megfontolás nélkül közölte, hogy ha a bal és a jobb oldalon a szorzatok egyenlők, akkor a kisebbik tényező kisebbikkel, a nagyobb pedig a nagyobbal lesz egyenlő. Ez azonban egyáltalán nincs így általában egy

p

prímszám és

x

y

egészek esetén (pl.

p = 17

x = 15

y = 19

). Így többen hiába kaptak helyes eredményt, dolgozatukra csak részpontszámot adhattunk.