Kezdőlap


Feladat:	Gy.3216	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Bálint Gergely , Birkner Tamás , Bóta Gergő , Csóka Endre , Csurgó Krisztina , Erdei Zsuzsa , Fodor Gyula , Garai Zsolt , Gerencsér Balázs , Harangi Viktor , Horváth Szilárd , Jakab Orsolya , Jelitai Kálmán , Kunszenti-Kovács Dávid , Kurcz Éva , Leipold Diána , Lovrics Anna , Moldvai Levente , Nagy Gergely , Pozsonyi Tamás , Schlanger Judit , Somogyi György , Ta Vinh Thong , Tóth Ágnes , Tran Thanh Long , Vígh Viktor
Füzet:	1999/február, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: Gy.3216

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 79 x^{2} + 79 y^{2} - 79 = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1. \end{matrix}

(1)

Most adjuk össze az eredeti egyenleteket:

\begin{matrix} 117 x^{2} + 117 y^{2} + 2 a x + 2 b y + 117 = 0; \end{matrix}

(1)-et behelyettesítve

\begin{matrix} a x + b y = - 117. \end{matrix}

(2)

Az eredeti egyenletnek ugyanakkor lesz közös megoldásuk, amikor (1)-nek és (2)-nek.
Nézzük meg először azt az esetet, ha

a = 0

.
Ekkor (2) miatt

b \neq 0

, tehát

y = - \frac{117}{b}

. (1) miatt viszont

y^{2} \leq 1

, tehát

b^{2} \geq 117^{2}

kell, hogy teljesüljön

(b \geq 117

vagy

b \leq - 117

), ekkor (1)-nek és (2)-nek mindig lesz közös megoldása.
Abban az esetben, ha

a \neq 0

, (2)-ből

x = \frac{- 117 - b y}{a}

, és ezt (1)-be helyettesítve, majd

a^{2} (> 0)

-val beszorozva és rendezve, az

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2}) y^{2} + (2 \cdot 117 \cdot b) y + (117^{2} - a^{2}) = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlethez jutunk, amelynek főegyütthatója,

a^{2} + b^{2} > 0

. Ennek pontosan akkor lesz megoldása, ha diszkriminánsa nagyobb vagy egyenlő nullánál, azaz

\begin{matrix} 4 (117^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2}) (117^{2} - a^{2}) \geq 0 \end{matrix}

Ezt az egyenlőtlenséget rendezve, majd

a^{2} > 0

-val elosztva kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} \geq 117^{2} . \end{matrix}

(3)

Ez a feltétel magában foglalja az

a = 0

esetben kapottat is, így (1)-nek és (2)-nak, tehát az eredeti egyenletrendszernek is pontosan akkor van megoldása, ha (3) teljesül, vagyis mindazokra az

(a, b)

számpárokra a síkon, amelyek az origó középpontú, 117 egység sugarú körvonalon és azon kívül vannak.

Tóth Ágnes (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., 9. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Némi koordinátageometriai ismeretet feltételezve látható, hogy az (1), (2) egyenletekből álló rendszer megoldhatósága azt jelenti, hogy a (2) egyenletű egyenes metszi vagy érinti az origó körüli egységsugarú kört.
Az egyenes távolsága az origótól

\frac{117}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}

, így akkor és csak akkor kapunk közös pontot, ha ez a távolság nem nagyobb, mint 1, a kör sugara, azaz

117^{2} \leq a^{2} + b^{2}