|
Feladat: |
Gy.3216 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ambrus Gergely , Bálint Gergely , Birkner Tamás , Bóta Gergő , Csóka Endre , Csurgó Krisztina , Erdei Zsuzsa , Fodor Gyula , Garai Zsolt , Gerencsér Balázs , Harangi Viktor , Horváth Szilárd , Jakab Orsolya , Jelitai Kálmán , Kunszenti-Kovács Dávid , Kurcz Éva , Leipold Diána , Lovrics Anna , Moldvai Levente , Nagy Gergely , Pozsonyi Tamás , Schlanger Judit , Somogyi György , Ta Vinh Thong , Tóth Ágnes , Tran Thanh Long , Vígh Viktor |
Füzet: |
1999/február,
92 - 93. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1998/szeptember: Gy.3216 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt, azt kapjuk, hogy azaz Most adjuk össze az eredeti egyenleteket: | | (1)-et behelyettesítve Az eredeti egyenletnek ugyanakkor lesz közös megoldásuk, amikor (1)-nek és (2)-nek. Nézzük meg először azt az esetet, ha . Ekkor (2) miatt , tehát . (1) miatt viszont , tehát kell, hogy teljesüljön vagy ), ekkor (1)-nek és (2)-nek mindig lesz közös megoldása. Abban az esetben, ha , (2)-ből , és ezt (1)-be helyettesítve, majd -val beszorozva és rendezve, az | | másodfokú egyenlethez jutunk, amelynek főegyütthatója, . Ennek pontosan akkor lesz megoldása, ha diszkriminánsa nagyobb vagy egyenlő nullánál, azaz | | Ezt az egyenlőtlenséget rendezve, majd -val elosztva kapjuk, hogy Ez a feltétel magában foglalja az esetben kapottat is, így (1)-nek és (2)-nak, tehát az eredeti egyenletrendszernek is pontosan akkor van megoldása, ha (3) teljesül, vagyis mindazokra az számpárokra a síkon, amelyek az origó középpontú, 117 egység sugarú körvonalon és azon kívül vannak.
Tóth Ágnes (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., 9. o.t.) dolgozata alapján |
Megjegyzés. Némi koordinátageometriai ismeretet feltételezve látható, hogy az (1), (2) egyenletekből álló rendszer megoldhatósága azt jelenti, hogy a (2) egyenletű egyenes metszi vagy érinti az origó körüli egységsugarú kört. Az egyenes távolsága az origótól , így akkor és csak akkor kapunk közös pontot, ha ez a távolság nem nagyobb, mint 1, a kör sugara, azaz .
|
|