Kezdőlap


Feladat:	C.512	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bécsi Kristóf , Fazekas Gábor , Havran Dániel , Kalmár Mónika , Károly Zoltán , Nyíri Sándor , Székelyhidi Tamás , Varga Attila
Füzet:	1999/február, 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör geometriája, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: C.512

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük át az egyik levágott szeletet az ábra szerint. Vegyük észre, hogy ha a félkör $T_{1}$ területéből levonjuk az $A B$ körszelet $T_{2}$ területét, a különbség majdnem a megevett tortacsíkok területét adja; csupán egy kicsivel több, mégpedig az $1,5$ cm oldalú négyzet területével
Az $A B$ területének kiszámításához szükségünk van az $A O B$ szögre. Ennek felét az $O A C$ derékszögű háromszögből kaphatjuk meg: $cos α = \frac{1,5}{15} = 0,1$ innen $α \approx 84, 26^{\circ}$ és $O A B ∢ = 2 α \approx 168, 52^{\circ}$ .
Az $A B$ körszelet területét az $A O B$ körcikk és az $A O B$ háromszög területének különbsége adja:

\begin{matrix} \begin{matrix} T_{2} = \frac{r^{2} π α}{360^{\circ}} - \frac{r^{2} sin 168, 52^{\circ}}{2} \approx 330,89 - 22,39 = 308,5 {cm}^{2} . \\ T_{1} - T_{2} \approx \frac{r^{2} π}{2} - 308,5 = \frac{15^{2} π}{2} - 308,5 \approx 44,929 {cm}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

A most kapott különbségből kell levonnunk az

1,5 cm^{2}

oldalú négyzet területét. Ekkor azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 44,929 {cm}^{2} - 2,25 {cm}^{2} = 42,679 {cm}^{2} . \end{matrix}

Ennyi a megevett torta területe. Végül a két terület hányadosa:

\begin{matrix} \frac{42,678}{15^{2} π / 4} \approx 0,2405, \end{matrix}

azaz a tortadarabnak majdnem a negyedrészét fogyasztottuk el.

Varga Attila (Tamási, Béri Balogh Á. Gimn., 11. o.t.)