Kezdőlap


Feladat:	C.511	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bérces Márton , Birkner Tamás , Farkas Milán , Fiedler Ágnes , Gyérmán János , Horváth Dániel , Kardos Péter , Kegyes Tamás , Keresztély Éva , Lovas Róbert , Matécsa Márta , Matos Zoltán , Medve Kinga Sára , Monyók Ákos , Orbán Viktor , Pallagi Orsolya , Taraza Busra , Tóth Balázs , Vanya Ádám , Varga Adrienn , Varga Zoltán , Vincze Tímea , Yu Da
Füzet:	1999/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: C.511

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C D$ paralelogrammában legyen $A D = B C = 4$ cm, $A B = C D = 7$ cm, $B D = x$ , $A C = x + 2$ , az $A$ csúcsnál lévő hegyesszög $α$ . Az $A B D$ és $A B C$ háromszögre írjuk fel a koszinusztételt:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} & = 4^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot cos α, illetve \\ {(x + 2)}^{2} & = 4^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 7 cos (180^{\circ} - α) . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

cos α = - cos (180^{\circ} - a)

, a két egyenlet megfelelő oldalait összeadva kapjuk, hogy

\begin{matrix} x^{2} + {(x + 2)}^{2} = 2 (4^{2} + 7^{2}) . \end{matrix}

(1)

Az egyenletet rendezve az

\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 63 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletet kapjuk, ahonnan

x = 7

(a másik gyök negatív) és

x + 2 = 9

a két átló hossza.

Fiedler Ágnes (Esztergom, Sz. István Gimn., 11. o.t.)

Megjegyzések. Az (1) egyenletet rögtön felírhatjuk az úgynevezett paralelogramma tétel ismeretében, ami azt mondja ki, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő a négy oldal négyzetösszegével. Ezt többen (jogosan) fel is használták, mint ismert tételt.
2. A feladatot megoldhatjuk a Pitagorasz-tétel, vagy a Heron-képlet felhasználásával is. Ezek a megoldások jóval bonyolultabbak.