Feladat:	F.3232	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna ,  Biró Márton ,  Gáspár Merse Előd ,  Harangi Viktor ,  Hegedűs Péter ,  Hermann György ,  Horváth András ,  Horváth Gábor ,  Juhász András ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Kutalik Péter ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Lovas Róbert ,  Máthé András ,  Pataki Péter ,  Sido Péter ,  Szabadka Zoltán ,  Terpai Tamás ,  Vaik István ,  Végh A. László ,  Zombori Tamás
Füzet:	1999/január, 37 - 38. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/május: F.3232

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az $\left(1\right)$ kifejezésben egyik tört nevezője sem lehet 0-val egyenlő, így $x^2-y^2\ne 1$. Végezzük el a következő ekvivalens átalakításokat: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{{\left(x^2-y^2\right)}^{\frac{y}{x}}+1}{{\left(x^2-y^2\right)}^{\frac{y}{x}}-1}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle x{\left(x^2-y^2\right)}^{\frac{y}{x}}-x=y{\left(x^2-y^2\right)}^{\frac{y}{x}}+y\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \left(x-y\right){\left(x^2-y^2\right)}^{\frac{y}{x}}=x+y\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle {\left(x-y\right)}^x{\left(x^2-y^2\right)}^y={\left(x+y\right)}^x\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle {\left(x-y\right)}^x{\left(x-y\right)}^y{\left(x+y\right)}^y={\left(x+y\right)}^x\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle {\left(x-y\right)}^{x+y}={\left(x+y\right)}^{x-y}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Vezessük be az $a=x+y$ és $b=x-y$ jelöléseket. Ekkor $b^a=a^b$, ahol $a>b$, mivel $y$ pozitív. Az $a$-val együtt $b$ is pozitív, mert $a=x+y>0$, és ha $b$ negatív lenne, akkor a bal oldal abszolút értéke nagyobb volna 1-nél, míg a jobb oldal abszolút értéke kisebb. Ha $b=0$, akkor $x=y$ miatt $\frac{x}{y}\ne \frac{{\left(x^2-y^2\right)}^{\frac{y}{x}}+1}{{\left(x^2-y^2\right)}^{\frac{y}{x}}-1}$. Legyen $\left(a\mathrm{,}b\right)=d$. Ekkor léteznek olyan $a_1$, $b_1$ pozitív egészek, amelyekre $a=a_{1}d$, $b=b_{1}d$ és $\left(a_1\mathrm{,}{b}_1\right)=1$. Azaz ${\left(d{b}_1\right)}^{d{a}_1}={\left(d{a}_1\right)}^{d{b}_1}$. Mivel $a_1$, $b_1$, $d_1$ pozitív egészek: $d^{a_1}\cdot b_1^{a_1}=d^{b_1}\cdot a_1^{b_1}$. $a>b$ alapján $a_1>b_1$. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle d^{a_1-b_1}{b}_1^{a_1}=a_1^{b_1}\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét oldalon pozitív egészek állnak és $\left(a_1\mathrm{,}{b}_1\right)=1$, vagyis az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha $b_1=1$. Így $d^{a_1-1}=a_1$, ahol $d\ne 1$, ugyanis az ellenkező esetben $a=b=1$, de mint tudjuk, $a>b$. Feltehető tehát, hogy $d\ge 2$. Használjuk fel a következő becslést: $\begin{array}{c}{\displaystyle d^{a_1-a}\ge 2^{a_1-1}\ge a_1\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből $d=2$ azonnal adódik. $2^{a_1-1}=a_1$ könnyen ellenőrizhetően akkor áll fenn, ha $a_1$ értéke 1 vagy 2. Ha $a_1=1$, úgy $a=b=2$, ami nem megoldása a feladatnak. Ha $a_1=2$, úgy $a=4$ és $b=2$, amiből $x=3$ és $y=1$ következik. Ezek kielégítik a feladat feltételeit. Tehát az egyedüli megoldás $x=3$ és $y=1$.  Léka Zoltán (Makó, József Attila Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás. Akárcsak az előző megoldásban, most is az $a^b=b^a$ egyenletre vezetjük vissza a feladatot. Ebből: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[a]{a}=\sqrt[b]{b}\mathrm{.}}\end{array}$ A kérdést tehát a következőképpen fogalmazhatjuk át: Létezik-e pozitív egészeken értelmezett $n\to \sqrt[n]{n}$ függvénynek két olyan értéke, amelyek egyenlők egymással? Ha $n\ge 5$, akkor $\sqrt[n]{n}>1$ és a függvény szigorúan monoton csökken, hiszen $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle n\ge 4>e=\mathrm{2,71}\text{...}>{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\text{miatt}n>{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Így $n^{n+1}>{\left(n+1\right)}^n$, tehát $\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}$. Ezek szerint, ha $n\ge 5$, akkor a függvény összes értéke különböző, és $\begin{array}{c}{\displaystyle 1<\sqrt[n]{n}\le \sqrt[5]{5}<\underset{}{\overset{}{\text{min}}}\left\{\sqrt[n]{n}:n\in \left\{\mathrm{2,}\mathrm{3,}4\right\}\right\}\mathrm{.}}\end{array}$ $1\le n\le 4$ esetén $\sqrt[4]{4}=\sqrt[2]{2}$ adódik, amiből egyedüli megoldásként $x=3$ és $y=1$.  Zombori Tamás (Budapest, Toldy F. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján