|
Feladat: |
F.3227 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bujdosó Attila , Devecsery András , Gáspár Merse Előd , Gyenes Zoltán , Harangi Viktor , Lippner Gábor , Pap Júlia , Pataki Péter , Pogány Ádám , Poronyi Gábor , Szabó Gábor , Szabó Péter , Terpai Tamás , Tisch Dávid , Végh A. László |
Füzet: |
1999/január,
35 - 37. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Polinomok oszthatósága, Számelmélet alaptétele, Binomiális tétel, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1998/április: F.3227 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen , , . Ekkor , , , , a feladat kérdése pedig a következőképpen módosul: milyen értékek mellett osztható a | | polinom -vel. A zárójeleket felbontva, a polinomiális tétel szerint adódik, hogy | |
Ebben a polinomban az -vel való oszthatóság szempontjából elég azokat a tagokat tekinteni, ahol a , , kitevők valamelyike 0. Nézzük mondjuk azoknak a tagoknak az összegét, ahol : | | A binomiális tétel szerint ez éppen Hasonló mondható el és esetén is. Így azon tagok összege, amelyekben , , valamelyike (legalább egy és legfeljebb kettő) nulla: | |
Összefoglalva: az polinom akkor és csak akkor osztható az polinommal, ha a | | polinom osztható -vel. Ez végül pontosan akkor teljesül, ha páratlan.
Megjegyzés. A megoldók többsége szimmetrikus polinomokat használt.
II. megoldás. Felhasználjuk, hogy a háromváltozós polinomok körében (is) teljesül a számelmélet alaptételének megfelelője. Ennek következményeként egy polinom pontosan akkor osztható -nal, ha az , , tényezők bármelyikével osztható. Ezek ugyanis egymáshoz páronként relatív prímek, ami azt jelenti, hogy a nemnulla konstans polinomokon kívül nincs más közös osztójuk. A kifejezés szimmetrikus , , -ben, így elegendő pl. az -nal való oszthatóságot vizsgálni. Mivel | | a kérdés -nek az -nal való oszthatóságára egyszerűsödik. Itt pedig | | mutatja, hogy az oszthatóság akkor következik be, ha osztható -nal, vagyis ha páratlan. |
|