Feladat: Gy.3199 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árvay Eszter ,  Babos Attila ,  Csikvári Péter ,  Gelencsér Gábor ,  Győri Nikolett ,  Harangi Viktor ,  Keszegh Balázs ,  Kiss Gergely ,  Máthé András ,  Németh Lajos ,  Pogátsa Attila ,  Powell Pál ,  Pozsár Balázs ,  Szentes Szilvia ,  Szilágyi Tamás ,  Szilasi Zoltán ,  Tóth Zoltán ,  Tran Thanh Long ,  Wéber Zoltán 
Füzet: 1999/január, 28 - 29. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Természetes számok, Egyenletek, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/április: Gy.3199

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy

1996⋅1998=(1997-1)(1997+1)=19972-1=3998008.
A feladat egyenlete átrendezés és szorzattá alakítás után:
(x-1998)(y-1996)=19972.
Mivel 1997 prímszám, azért az 19972 csak a következő 6-féle módon áll elő két egész szám szorzataként:
x-1998=1, y-1996=19972,tehátx=1999, y=3990005;
x-1998=1997, y-1996=1997,tehátx=3995, y=3993;
x-1998=19972, y-1996=1,tehátx=3990007, y=1997;
x-1998=-1, y-1996=-19972,tehátx=1997, y=-3986013;
x-1998=-1997, y-1996=-1997,tehátx=1, y=-1;
x-1998=-19972, y-1996=-1,tehátx=-3986001, y=1995.

Ezzel a feladatot megoldottuk.
 Szilasi Zoltán (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 9. o.t.)

 
Megjegyzés. Kiss Gergely (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t.) a fentiekhez hasonlóan általában a
k(a-b)x+k(a+b)y+b2=k2xy
alakú egyenleteket is vizsgálta. Ebből a feladat közvetlen általánosítását az a típus adja, ahol k=1, az a paraméter pedig prím.