Kezdőlap


Feladat:	Gy.3198	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gelencsér Gábor
Füzet:	1999/január, 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Prímszámok, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/április: Gy.3198

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $a$ , $b$ , $c$ , $d$ a feladat feltételeit kielégítő pozitív egészek. Ekkor $a + b + c + d = p$ , ahol $p$ prímszám. Helyettesítsük be az $a b = c d$ egyenlőségbe $d = p - (a + b + c)$ -t:

\begin{matrix} \begin{matrix} a b & = c (p - a - b - c), \\ a b + a c + b c + c^{2} & = c p, \\ (a + c) (b + c) & = c p . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

p

osztója

c p = (a + c) (b + c)

-nek és

p

prím, azért

p

osztója az

(a + c)

és

(b + c)

valamelyikének; az általánosság sérelme nélkül feltehető, hogy például

p ∣ a + c

. Ekkor nyilván

p \leq a + c

, így

\begin{matrix} c = \frac{(a + c) (b + c)}{p} \geq b + c . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy

b \leq 0

, ami ellentmondás. A feladat követelményeinek eleget tevő pozitív egészek tehát nem léteznek.