Megpróbálunk minél nagyobb részhalmazt kiválasztani úgy, hogy semelyik két elem összege ne legyen 2-hatvány, és megmutatjuk, hogy ez a részhalmaz nem lehet ezer- vagy többelemű.
Az nyilvánvaló, hogy a részhalmaznak nem lehet eleme egyetlen 2-hatvány sem, mert akkor $a$-nak és $b$-nek is azt választva az $a+b$ összeg is 2-hatvány lesz. Képezzük most a következő számpárokat:
1. $\left(\mathrm{50,}1998\right)$;  $\left(\mathrm{51,}1997\right)$;  $\text{...}$;  $\left(\mathrm{1023,}1025\right)$ ‐ ez 974 pár.
2. $\left(\mathrm{15,}49\right)$;  $\left(\mathrm{16,}48\right)$;  $\text{...}$;  $\left(\mathrm{31,}33\right)$ ‐ ez 17 pár.
3. $\left(\mathrm{2,}14\right)$;  $\left(\mathrm{3,}13\right)$;  $\text{...}$;  $\left(\mathrm{7,}9\right)$ ‐ ez 6 pár.
Ezzel minden számot párokba soroltuk, kivéve néhány 2-hatványt (1024, 32, 8, 1), mert azok nem lehetnek a részhalmaz elemei, valamint a nullát. (Könnyen meggyőződhetünk, hogy minden számot besoroltunk valahová, mert $2\left(974+17+6\right)+4+1=1999$.) Látható, hogy az egy párba sorolt számok összege 2-hatvány: 2048, 64, illetve 16. Emiatt egy párból egyszerre csak egy szám lehet a részhalmazunkban. Így a $H$ elemszámának maximuma, beleszámítva a nullát is: $974+17+6+1=998<1000$. Ezzel a bizonyítást befejeztük.