Feladat: Gy.3194 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Breuer János ,  Gyenes Zoltán ,  Máthé András ,  Nagy Tamás ,  Varjú Péter ,  Zalán Péter 
Füzet: 1998/december, 528 - 529. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Magasságvonal, Háromszög területe, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/március: Gy.3194

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. A háromszög területe a szokásos jelölésekkel t=absinγ2=ama2=bmb2. Mivel maa és mbb, ta22 és tb22. Ezért absinγ2a22 és absinγ2b22. Mivel a, b pozitív számok, azt nyerjük, hogy sinγab és sinγba. Ezekből következik, hogy sinγ1, ami csak úgy lehetséges, ha sinγ=1, vagyis γ=90.
Derékszögű háromszögben az egyik befogóhoz tartozó magasság a másik befogó, ezért a feltételek szerint ba és ab, ahonnan a=b következik.
Tehát a háromszög derékszögű és egyenlő szárú, így a szögei: 90, 45, 45.
 Zalán Péter (Budapesti Evangélikus Gimn., 9. o.t.

 
II. megoldás. Ábránkon az a két magasság, amelyekről a két feltétel szól, ma, illetve mb. A feltételek szerint maa és mbb. Írjuk fel az ANC és BMC háromszögekre a Pitagorasz-tételt, és használjuk föl a feltételeket:
ma2+NC2=b2mb2;mb2+MC2=a2ma2.
Ezek az összefüggések természetesen elfajuló ANC és BMC háromszögekre is teljesülnek. Adjuk össze a kapott egyenlőtlenségeket:
ma2+NC2+mb2+MC2mb2+ma2,
amiből következik: NC2+MC20. Ez pontosan akkor lehetséges, ha NC=MC=0, és így γ=90, továbbá ma=b és mb=a. Ezért a feltételeket figyelembe véve ba és ab, amiből a=b. A háromszög tehát derékszögű és egyenlő szárú, ezért a szögei: 90, 45, 45.
 Breuer János (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gimn., 9. o.t.)