Feladat: Gy.3189 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Balogh Attila ,  Bíró Zsuzsanna ,  Devecsery András ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Harangi Viktor ,  Horváth Gábor ,  Juhász András ,  Máthé András ,  Papp Dávid ,  Pogátsa Attila ,  Pszota Anikó ,  Rácz Balázs ,  Soós Károly ,  Szabadka Zoltán ,  Szekeres Nóra ,  Végh A. László ,  Zábrádi Gergely ,  Zalán Péter 
Füzet: 1998/december, 526 - 527. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kocka, Térfogat, Tengely körüli forgatás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/február: Gy.3189

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Legyen AG az a testátló, ami körül forgatunk, ennek felezőpontja legyen O, a P, Q, R pontok pedig a DC, CB, BF élek felezőpontjai. Az O pontra a kocka középpontosan szimmetrikus, ebben a szimmetriában a P pont P' képe az EF él felezőpontja. Hasonlóan származtathatók a Q' és R' pontok. Megmutatjuk, hogy az AG körüli +60-os forgatás során P képe Q, Q képe R, R képe P' és így tovább. Először belátjuk, hogy POAG. Ehhez kiszámítjuk a PO, OA és AP szakaszok hosszát: PO=12PP'=12ED=22, OA=32, AP=1+14=54. Mivel PO2+OA2=AP2, a Pitagorasz-tétel megfordítása szerint POA=90.
Hasonlóan belátható, hogy QO és RO is merőleges AG-re. Már láttuk, hogy PO=22, ugyanúgy QO=PQ=22, tehát a PQO háromszög szabályos. Most már következik, hogy P képe az AG körüli +60-os elforgatásban Q. Ugyanígy kapjuk, hogy Q képe R, R képe P' és így tovább.
Nézzük meg azután,  mi lesz az
ABCD lap elforgatottja. Ennek a lapnak A, P, Q három nem egy egyenesen lévő pontja, ezért a lap síkjának képét a három képpont, vagyis A, Q, R meghatározza. Az A, Q, R pontok síkja lemetszi a kockából az AQRB gúlát. Hasonlóan megmutatható, hogy az A csúcsra illeszkedő másik két lap, illetve a G csúcsra illeszkedő három lap elforgatottja az AQRB gúlával egybevágó gúlákat vág le a kockából. Egy ilyen gúla térfogata 131212121=124, ezért a közös rész térfogata 1-6124=34.

 Balogh Attila (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., 11. o.t.)

 

Megjegyzés. A közös rész térfogata úgy is kiszámítható, hogy meghatározzuk a
PQRP'Q'R'
alapú A vagy G csúcsú gúla térfogatát, és ezt kétszer vesszük.