A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Használjuk az ábra jelöléseit. Legyen az a testátló, ami körül forgatunk, ennek felezőpontja legyen , a , , pontok pedig a , , élek felezőpontjai. Az pontra a kocka középpontosan szimmetrikus, ebben a szimmetriában a pont képe az él felezőpontja. Hasonlóan származtathatók a és pontok. Megmutatjuk, hogy az körüli -os forgatás során képe , képe , képe és így tovább. Először belátjuk, hogy . Ehhez kiszámítjuk a , és szakaszok hosszát: , , . Mivel , a Pitagorasz-tétel megfordítása szerint . Hasonlóan belátható, hogy és is merőleges -re. Már láttuk, hogy , ugyanúgy , tehát a háromszög szabályos. Most már következik, hogy képe az körüli -os elforgatásban . Ugyanígy kapjuk, hogy képe , képe és így tovább. Nézzük meg azután, mi lesz az lap elforgatottja. Ennek a lapnak , , három nem egy egyenesen lévő pontja, ezért a lap síkjának képét a három képpont, vagyis , , meghatározza. Az , , pontok síkja lemetszi a kockából az gúlát. Hasonlóan megmutatható, hogy az csúcsra illeszkedő másik két lap, illetve a csúcsra illeszkedő három lap elforgatottja az gúlával egybevágó gúlákat vág le a kockából. Egy ilyen gúla térfogata , ezért a közös rész térfogata .
Balogh Attila (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., 11. o.t.) |
Megjegyzés. A közös rész térfogata úgy is kiszámítható, hogy meghatározzuk a alapú vagy csúcsú gúla térfogatát, és ezt kétszer vesszük.
|