Kezdőlap


Feladat:	Gy.3178	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gyenes Zoltán
Füzet:	1998/november, 484. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/január: Gy.3178

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a háromszög oldalai $a$ , $b$ , $c$ . Tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$ . Felírhatjuk a háromszög területét a szokásos jelölésekkel $\frac{a \cdot b \cdot sin γ}{2}$ alakban, ahonnan

\begin{matrix} \frac{a \cdot b \cdot sin γ}{2} \leq \frac{a \cdot b}{2} \leq \frac{b^{2}}{2} . \end{matrix}

(1)

A területre szóló feltétel szerint

\frac{b^{2}}{2} \geq 1

, és így

b \geq \sqrt[]{2}

. A második legnagyobb oldal tehát legalább

\sqrt[]{2}

.
A

b \geq \sqrt[]{2}

összefüggésben pontosan akkor lesz egyenlőség, ha (1)-ben mindenütt egyenlőség áll. Ez pontosan azt jelenti, hogy

a = b

és

γ = 90^{\circ}

, azaz

a = b = \sqrt[]{2}

és

c = 2

Gyenes Zoltán (Bp., Apáczai Csere J. Gimn., 10. o.t.)