|
Feladat: |
N.164 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Baharev Ali , Bérczi Gergely , Csóka Endre , Gerbicz Róbert , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Hegedűs Péter , Horváth Gábor , Juhász András , Kun Gábor , Lippner Gábor , Lukács László , Mecz Balázs , Naszódi Gergely , Pataki Péter , Székelyhidi Gábor , Végh A. László , Zábrádi Gergely |
Füzet: |
1998/október,
422 - 423. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Fibonacci-sorozat, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1998/február: N.164 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelölje a Fibonacci-sorozat -edik elemét, azaz , . A Fibonacci-sorozat értelemszerűen kiterjeszthető negatív indexekre is (, , stb). Bebizonyítjuk a következőt: szerint vett maradékai periodikusak (minden -re). Tekintsük ugyanis az () rendezett párokat modulo . Közülük véges sok, legfeljebb különböző lehetséges, így létezik olyan , amelyre és (mod ). Innen nyilván és adódik a rekurzióból, ezért teljes indukcióval azt kapjuk, hogy az szerint vett maradékra nézve periodikus (mindkét irányban!) a periódussal. Ekkor végtelen sok pozitív van, amelyre (mod ), és esetén ; vagyis a 10-es számrendszerben felírva 6 darab 9-esre végződik.
|
|