Kezdőlap


Feladat:	F.3225	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baharev Ali , Balogh Attila , Bárány Kristóf , Csikvári András , Dancsó Zsuzsanna , Devecsery András , Gáspár Merse Előd , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Harangi Viktor , Hermann György , Horváth András , Horváth Gábor , Juhász András , Katona Zsolt , Keszegh Balázs , Kiss András Péter , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Máthé András , Oláh Szabolcs , Pál András , Pogány Ádám , Puskás Péter , Szabadka Zoltán , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Vaik István , Végh A. László , Vidor Anna , Vizer Máté
Füzet:	1998/október, 420. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térelemek és részeik, Ponthalmazok, Sík egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/március: F.3225

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel a térben egy derékszögű koordinátarendszert, és tekintsük azt a $H$ halmazt, amelyet azok az $(x; y; z)$ koordinátájú pontok alkotnak, amelyekre $y = x^{3}$ és $z = x^{5}$ . Megmutatjuk, hogy $H$ eleget tesz a feladat feltételeinek.
A térben egy tetszőleges sík egyenlete $A x + B y + C z + D = 0$ alakú, ahol az $A$ , $B$ , $C$ számok nem mindegyike 0. Ennek a síknak pontosan annyi közös pontja van $H$ -val, ahány valós megoldása az

\begin{matrix} A x + B x^{3} + C x^{5} + D = 0 \end{matrix}

egyenletnek van. Tudjuk, hogy egy páratlan fokú polinomnak mindig van legalább egy valós gyöke, s nyilván legfeljebb annyi gyöke van, mint az egyenlet fokszáma (

A

B

és

C

egyszerre nem 0, tehát a polinom fokszáma legalább 1 és legfeljebb 5). Így

H

-nak minden síkon legalább egy, de legfeljebb öt pontja van.

Juhász András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.)

Megjegyzés. A

H

ponthalmaz egy olyan görbe, amelynek a koordinátasíkok által meghatározott 8 térrész közül 2-ben vannak pontjai (1. ábra). A görbének a koordinátasíkokon lévő vetületei a 2. ábrán láthatók.