Tegyük fel indirekt módon, hogy van $n$ különböző függvényérték. Egy függvényérték egy pontpárhoz, egy képzeletbeli élhez tartozik. Egy $n$ pontú fának mindig $n-1$ éle van, tehát $n$ képzeletbeli él között biztos van kör, azaz:
Léteznek olyan $A_1$, $A_2$, $\text{...}$, $A_k$, $A_{k+1}=A_1$ pontok, hogy az $f\left(A_i;A_{i+1}\right)$ értékek ($i=1$, $\text{...}$, $k$) mind különbözők. Azt is feltehetjük, hogy közülük $f\left(A_1;A_k\right)$ a legnagyobb. Ez azt jelenti, hogy bármilyen úton haladunk is $A_1$ és $A_k$ között, biztosan átmegyünk egy legalább $x=f\left(A_1;A_k\right)$ értékű élen. Most tegyük fel a következőt: Mivel $x_1=f\left(A_1;A_2\right)<x=f\left(A_1;A_k\right)$, létezik olyan $A_1{A}_2$ út, amely legfeljebb $x_1$ értékű éleken halad. Hasonlóan, mivel $x_2=f\left(A_2;A_3\right)<x$, van egy olyan $A_2{A}_3$ út, amely legfeljebb $x_2$ értékű éleken halad, stb; végül van egy olyan $A_{k-1}{A}_k$ út, amely legfeljebb $x_{k-1}$ értékű éleken halad. Ezen utakat egymás után fűzve kapunk egy olyan $A_1{A}_k$ sétát, amelynek minden éle kisebb értékű, mint $x$.
Most a következőt tesszük. Egy lépésben, ha van olyan $A$ pont, amelyet többször is érint a séta, akkor az első és utolsó érintés közti részt elhagyjuk belőle. Ezt folytatva nyilván egy olyan $A_1{A}_k$ úthoz fogunk jutni, amely csak $x$-nél kisebb értékű éleket tartalmaz, és ez ellentmond annak, hogy $f\left(A_1;A_k\right)=x$. Ezzel az állítást igazoltuk.