Kezdőlap


Feladat:	C.503	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ábrány Miklós , Robotka Zsolt
Füzet:	1998/október, 404 - 405. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Háromszög területe, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/április: C.503

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt az esetet vizsgáljuk, amikor a beírt kör a szárat az alaphoz közelebb eső harmadolópontban érinti. Jelöljük a háromszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ -vel, ahol $A B = A C$ , a beírt kör középpontját $O$ -val, sugarát $ϱ$ -val. A $C B$ oldalhoz tartozó magasságvonal az alapot az $F$ felezőpontban érinti, $O$ -ból az $A B$ -re állított merőleges és $A B$ metszéspontja $D$ , az $O A$ szakasz hosszát jelöljük $y$ -nal. (1. ábra)
$B F = B D = x$ , külső pontból húzott érintő szakaszok, a feltétel szerint $A D = 2 x$ .
Az $A O D$ és $A B F$ derékszögű háromszögek hasonlók (az $A$ csúcsnál lévő szögük közös), megfelelő oldalaik aránya:

\begin{matrix} y : 3 x = ϱ : x, innen y = 3 ϱ . \end{matrix}

A O D

derékszögű háromszögből Pitagorasz tétele szerint:

\begin{matrix} ϱ^{2} + 4 x^{2} = 9 ϱ^{2}, ahonnan x = ϱ \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A B C

háromszög magassága:

ϱ + y = 4 ϱ

. Most már felírhatjuk a területeket:

\begin{matrix} T_{▵} = x \cdot m = ϱ \sqrt[]{2} \cdot 4 ϱ = 4 \sqrt[]{2} ϱ^{2}, T_{◯} = ϱ^{2} π, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{T_{▵}}{T_{◯}} = \frac{4 \sqrt[]{2}}{π} \approx 1,8006, \end{matrix}

A másik esetben, hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy

y = \frac{3}{2} ϱ

(az érintőszakaszok hosszát most a 2. ábra szerint

2 x

-szel jelöltük), és

ϱ^{2} + x^{2} = \frac{9}{4} ϱ^{2}

, ahonnan

x = \frac{\sqrt[]{5}}{2} ϱ

\begin{matrix} T_{▵} = 2 x (ϱ + y) = 5 \cdot \frac{\sqrt[]{5}}{2} ϱ^{2}, T_{◯} = ϱ^{2} π . \end{matrix}

A területek aránya most:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{T_{▵}}{T_{◯}} = \frac{\frac{5 \sqrt[]{5}}{2} ϱ^{2}}{ϱ^{2} π} = \frac{5 \sqrt[]{5}}{2 π} \approx 1,7794 \end{matrix} \end{matrix}

Tehát a második esetben fedi a kör a háromszög területének nagyobb hányadát.