Feladat: C.501 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bérces Márton 
Füzet: 1998/december, 516 - 517. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Természetes számok, Számtani közép, Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/április: C.501

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A táblára felírt számok:

1,2,...,n-1,n,
a letörölt számot jelöljük x-szel. Az első n természetes szám összege, Sn, az ismert formula szerint Sn=n(n+1)2. A letörölt számot vonjuk ki az összegből, és írjuk fel a megmaradt számok számtani közepét, amelyről tudjuk, hogy 454; kapjuk, hogy
n(n+1)2-xn-1=454.(1)
A letörölt szám legalább 1 és legfeljebb n, eszerint
n(n+1)2-nn-1≤454≤n(n+1)2-1n-1.
Rendezve az egyenlőtlenséget
n2≤454≤n+22,
ahonnan 20,5≤n≤22,5. Mivel n csak egész szám lehet, azért n=21 vagy 22.
Az n most kapott értékeit (1)-be helyettesítve

n=21-re  21⋅11-x20=454, innen x=6;

n=22-re  11⋅23-x21=454, innen 4x=67, x nem egész szám, s ezért nem megoldás.
A letörölt szám tehát a 6.
 Bérces Márton (Budapest, Arany J. Gimn., 11. o.t.)