A feltétel azt jelenti, hogy $n!$ 10-nek pontosan a 100-adik hatványával legyen osztható. Mivel 10-nek a prímtényezős felbontása $2\cdot 5$, ezért ez pontosan akkor teljesül, ha $n!$ prímtényezős felbontásában a 2 és az 5 egyike pontosan a 100-adik, a másikuk pedig legalább a 100-adik hatványon szerepel. Várható, hogy 5 szerepel kisebb kitevőn, ezért először azt nézzük meg, hogy mikor lesz 5-nek a kitevője 100.
Mivel minden ötödik természetes szám osztható 5-tel, ezért az $n$-ig fellépő számok szorzata csak úgy lehet pontosan $5^{100}$-nal osztható, ha $n$-ig legfeljebb 100 darab 5-tel osztható szám van, azaz, ha $n\le 500$.
Írjuk fel most $n$-et ,,ötös számrendszerben'', azaz $n=a+5b+25c+125d+625e+\text{...}$ alakban, ahol a szereplő ,,együtthatók'' nemnegatív 5-nél kisebb egész számok (ilyen felírás a maradékos osztás alapján minden pozitív $n$-re létezik). Mivel $n\le 500$, ezért ebben a felírásban csak az első négy tag lehet 0-tól különböző: $n=a+5b+25c+125d$.
Nézzük meg, $n$-ig hány szám osztható 5-tel, 25-tel és 125-tel. 5-tel minden ötödik, 25-tel minden huszonötödik és 125-tel minden százhuszonötödik. Ezek száma tehát rendre $b+5c+25d$, $c+5d$ és $d$.
A szorzatban tehát $\left(b+5c+25d\right)$-szer lép fel tényezőként az 5, $\left(c+5d\right)$-szer egy újabb 5-ös faktor és $d$-szer még egy 5-ös faktor. Így a fellépő 5-ös faktorok számára: