Kezdőlap


Feladat:	C.496	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1998/október, 400. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Szabályos sokszög alapú egyéb hasábok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/február: C.496

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kétféle testátlót a hasáb két síkmetszetéből határozhatjuk meg. Először a hatszög leghosszabb átlójára illesszünk az alapsíkra merőleges síkot, majd a rövidebbik átlóra. (Több lehetőségünk nincs is, csak 2 különböző hosszúságú testátlója van a hasábnak.) A síkmetszet mindkét esetben téglalap lesz. A téglalap egyik oldalának hossza megegyezik a hasáb magasságával. A téglalap másik oldala az első esetben $2 a$ , a második esetben $a \sqrt[]{3}$ , ahol $a$ a szabályos hatszög oldalainak a hossza.
Az átlók hosszát Pitagorasz tételének felhasználásával írhatjuk fel:

\begin{matrix} \begin{matrix} 13^{2} = {(2 a)}^{2} + m^{2}, \end{matrix} \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} \begin{matrix} 12^{2} = {(a \sqrt[]{3})}^{2} + m^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Az egyenletrendszerből

a = 5

m = \sqrt[]{69}

.
A hasáb térfogata:

V = A_{t} \cdot m

, ahol

A_{t} = 6 \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{4}

, azaz

\begin{matrix} V = 6 \cdot \frac{25 \sqrt[]{3}}{4} \sqrt[]{69} \approx 539,53 térfogategység. \end{matrix}