Kezdőlap


Feladat:	C.494	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Markó József
Füzet:	1998/október, 398 - 399. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/február: C.494

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két esetet különböztetünk meg:
a) ha $n$ páros,
b) ha $n$ páratlan.
a) Írjuk fel az egész számokat növekvő sorrendben, majd írjuk alá fordított sorrendben, és képezzük az egymás alá írt számok különbségét:

\begin{matrix} növekvő sorrend & 1 & 2 & 3 & ... & \frac{n}{2} & \frac{n}{2} + 1 & ... & n - 1 & n \\ fordított sorrend & n & n-1 & ... & \frac{n}{2} + 1 & \frac{n}{2} & ... & 2 & 1 \\ különbség & 1 - n & 3 - n & 5 - n & 1 & 1 & n - 3 & n - 1 \end{matrix}

A különbségek

\frac{n}{2}

-ig negatívak, de abszolút értékben megegyeznek az

\frac{n}{2} + 1

-től

n

-ig vett különbségekkel, ezért elegendő

\frac{n}{2}

-ig összegezni, és ennek kétszeresét venni. A különbségek számtani sorozatot alkotnak, amelyben

a_{1} = | 1 - n | = n - 1

d = - 2

, a tagok száma:

\frac{n}{2}

és

a_{1} = 1

. A sorozat összege az ismert képlet szerint így írható fel:

\begin{matrix} S_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{2} (n - 1 + 1) = \frac{n^{2}}{4} . \end{matrix}

A keresett összeg pedig:

\frac{n^{2}}{2}

.
b) Ha

n

páratlan, az előzőkhöz hasonlóan

\begin{matrix} növekvő sorrend & 1 & 2 & 3 & ... & k - 1 & k & k + 1 & ... & n - 1 & n \\ fordított sorrend & n & n-1 & ... & k + 1 & k & k - 1 & ... & 2 & 1 \\ különbség & 1 - n & 3 - n & 5 - n & - 2 & 0 & 2 & n - 3 & n - 1 \end{matrix}

Most a számtani sorozatban a tagok száma változott, mégpedig

k = \frac{n + 1}{2}

-re, és az utolsó tag

a_{n} = 0

.
Az összeg:

S_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n + 1}{2} (n - 1) = \frac{n^{2} - 1}{4}

. A különbségek összege:

\frac{n^{2} - 1}{2}

Markó József (Miskolc, Földes F. Gimn., 9. o.t.)