Kezdőlap


Feladat:	C.492	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lengyel Zoltán , Szűcs Zsófia
Füzet:	1998/szeptember, 347. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/január: C.492

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a torony magasságát $x$ -szel, a két látószöget $α$ -val és $β$ -val az ábra szerint. A keletkezett két derékszögű háromszögből

\begin{matrix} \begin{matrix} tg α = \frac{x}{50}, tg β = \frac{x}{100}, \end{matrix} \end{matrix}

továbbá

α + β = 45^{\circ}

.
Ismeretes, hogy

\begin{matrix} tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β} . \end{matrix}

Helyettesítve a fenti értékeket:

\begin{matrix} 1 = \frac{\frac{x}{50} + \frac{x}{100}}{1 - \frac{x}{50} \frac{x}{100}} . \end{matrix}

Rendezés után a következő másodfokú egyenletet kapjuk

x

-re:

x^{2} + 150 x - 5000 = 0

, ahonnan, mivel csak a pozitív gyököket kell figyelembe vennünk,

x = 28,07

; ennyi méter magas a torony.