Feladat:	C.490	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ábrány Miklós ,  Babos Attila ,  Bákor Krisztina ,  Bankó Krisztián ,  Boros M. Mátyás ,  Führer Lívia ,  Kormos Márton ,  Müncz Márton ,  Orbán Viktor ,  Zalán Péter ,  Závodi Attila
Füzet:	1998/október, 396 - 397. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/január: C.490

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Legyen a két páratlan szám $2x+1$, illetve $2y+1$. ($2x+1>2y+1$) Négyzetük különbsége: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left(2x+1\right)}^2-{\left(2y+1\right)}^2=\left(4x^2+4x+1\right)-\left(4y^2+4y+1\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =4\left(x^2-y^2\right)-4\left(x-y\right)=4\left(x-y\right)\left(x+y+1\right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Ez a szorzat pedig mindig osztható 8-cal. Ha ugyanis $x$ és $y$ páros, akkor a különbségük is páros, és így osztható 2-vel. Ugyanez igaz, ha mindkettő páratlan. Ha viszont az egyik páros, a másik páratlan, akkor az $\left(x+y-1\right)$ tényező osztható 2-vel.   II. megoldás. A páratlan számok 8-cal osztva 1, 3, 5 vagy 7 maradékot adnak. Ezek négyzete pedig 8-cal osztva mindig 1 maradékot ad, így kettőjük különbsége mindig osztható 8-cal.