Kezdőlap


Feladat:	Gy.3172	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boros M. Mátyás , Csirmaz Előd , Csóka Endre , Csurgó Krisztina , Fehér Gergely , Gelencsér Gábor , Gyenes Zoltán , Harangi Viktor , Hegedűs Ákos , Illés Balázs , Kardos Péter , Kelemen Kristóf , Kerékfy Péter , Kunszenti-Kovács Dávid , Lábó Eszter , Lőke Tamás , Matin Tamás , Nagy Ádám , Papp Dávid , Tran Thanh Long , Venter György , Zempléni Márton
Füzet:	1998/május, 284 - 285. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körhengerek, Térfogat, Szögfüggvények a térben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/december: Gy.3172

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1. ábrán a megdöntött hengert elölnézetben rajzoltuk le. A henger fedőlapjának képe az $A B$ szakasz, a víz kiömlése után kialakuló vízszintes vízfelszín képe $B D$ . Messük el a hengert a tengelyére merőleges, a $D C$ átmérőt tartalmazó síkkal. Az így levágott henger térfogata kétszerese a kiömlött víz térfogatának, hiszen az a két test, amelyek képe a rajzon $A B D$ , illetve $C D B$ , a $D B$ átmérő felezőpontjára középpontosan szimmetrikus. Az $A B D$ derékszögű háromszögből $tg 30^{\circ} = \frac{A D}{A B}$ , ahonnan $A D = \frac{20}{\sqrt[]{3}}$ , ezért a kiömlött víz köbtartalma

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot 10^{2} π \frac{20}{\sqrt[]{3}} = \frac{10^{3} π}{\sqrt[]{3}} \approx 1813,8 {cm}^{3} . \end{matrix}

A víz fele akkor folyik ki, ha az 1. ábrán lerajzolt helyzetből tovább döntjük az edényt mindaddig, amíg az

F B

felület képe vízszintes nem lesz (2. ábra). Ekkor az ábrán

α

-val jelölt szögek egyenlők. Az

α

szöget úgy szerkesztjük meg, hogy meghúzzuk egy

20 \times 25

-ös téglalap átlóját, és

α

lesz az a szög, amelyet a téglalap átlója a rövidebbik oldallal zár be.

Megjegyzés. Az

α

értéke közelítőleg

51, 3^{\circ}

. Ha azt kérdeznénk, hogy az edényt

60^{\circ}

-kal megdöntve mennyi víz folyik ki, a leírt módszerrel nem tudnánk választ adni, mert ekkor a kifolyó víz térfogata több, mint a henger térfogatának a fele. Ilyenkor úgy járunk el, hogy a henger magasságát egy alkalmas pozitív számmal megszorozva, egy ,,hosszabb'' hengerre alkalmazzuk a fenti módszert.

Lőke Tamás (Pápa, Türr István Gimn., 10. évf.) és

Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 10. évf.)