Ha $a$ és $b$ paritása különböző, azaz egyikük páros, a másik páratlan, akkor $a^2$ és $b^2$ közül az egyik néggyel osztva 0, a másik 1 maradékot ad. A $c^2$ maradéka 0 vagy 1, így $a^2+b^2+c^2+1$ maradéka $1+0+1=2$ vagy $1+1+1=3$, és $d^2$ sem 2-t, sem 3-at nem adhat maradékul 4-gyel osztva. Így ebben az esetben nem létezik egész megoldása az $a^2+b^2+c^2+1=d^2$ egyenletnek.
Ha $a$ és $b$ paritása azonos, akkor $a^2+b^2$ biztosan páros, így $\frac{a^2+b^2}{2}$ egész szám. Tudjuk, hogy $d^2-c^2=\left(d+c\right)\left(d-c\right)$. Legyen továbbá $d-c=1$, azaz $d=c+1$, tehát $d^2-c^2=\left(d+c\right)\left(d-c\right)=2c+1$. A $c=\frac{a^2+b^2}{2}$, $d=\frac{a^2+b^2}{2}+1$ választással $a^2+b^2+1=2c+1=d^2-c^2$, ezek tehát megoldásai az egyenletnek, és valóban egészek.