Feladat:	C.487	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrány Miklós ,  Babos Attila ,  Biró Márton ,  Csóka Endre ,  Friedl Zita ,  Gueth Krisztián ,  Koch Dénes ,  Kormos Márton ,  Major Balázs ,  Sarlós Ferenc ,  Simon Zoltán ,  Szűcs Zsófia ,  Zám Katalin ,  Závodi Attila
Füzet:	1998/május, 279. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Thalesz-kör, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/december: C.487

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1+\frac{1}{\text{sin}\alpha }\right)\left(1+\frac{1}{\text{cos}\alpha }\right)=1+\frac{1}{\text{sin}\alpha }+\frac{1}{\text{cos}\alpha }+\frac{1}{\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\text{sin}\alpha }>1\text{és}\frac{1}{\text{cos}\alpha }>\mathrm{1,}}\end{array}$ (2) mivel a feltétel szerint $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$. Mivel $\alpha$ hegyesszög, létezik olyan $ABC$ derékszögű háromszög, amelynek egyik hegyesszöge $\alpha$, átfogója, $AB$, legyen egységnyi. Ekkor $AC=\text{sin}\alpha$ és az $ABC$ és $ACD$ háromszögek hasonlóságából $DCB\sphericalangle =\alpha$ és $CD=\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha$. Tudjuk, hogy az átfogóhoz tartozó magasság legfeljebb akkora lehet, mint a Thálesz-kör sugara, azaz $\frac{1}{2}$. Innen $\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha \le \frac{1}{2}$, azaz $\frac{1}{\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha }\ge 2$. Ebből és (2)-ből következik a feladat állítása.  Szűcs Zsófia (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. évf.)