Kezdőlap


Feladat:	C.485	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal István , Thiry Gábor
Füzet:	1998/május, 278 - 279. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Számelrendezések, Számtani sorozat, Szélsőérték-feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/december: C.485

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A táblázat bal alsó sarkában 1-es áll. Az átló a felette álló sor 2. számán halad keresztül. Ez egy olyan számtani sorozat 2. eleme, amelynek első eleme 1, differenciája 99, a szám tehát $1 + 1 \cdot 99 = 100$ . A következő sorban a 3. helyen álló számon megy át az átló, amely $1 + 2 \cdot 98 = 199$ és így tovább.
Általában tekintsünk egy $n \times n$ -es táblázatot, amelyet hasonlóképpen töltöttünk ki. Az említett átló a $k$ -adik sor $(n - k + 1)$ -edik helyén álló számon fog áthaladni ( $k = 1$ , 2, 3, $...$ , $n$ ), amely

\begin{matrix} a_{k} = 1 + (n - k + 1 - 1) k = 1 + n k - k^{2} = - {(k - \frac{n}{2})}^{2} + \frac{n^{2}}{4} + 1 \end{matrix}

alakban írható fel. Ezen számok közül keressük a legnagyobbat. A

k

-ra másodfokú kifejezésben

k^{2}

együtthatója (a főegyüttható) negatív, a parabola lefele szélesedő, tehát van maximuma. Maximumhelye:

k = \frac{n}{2}

. Ha

n

páros, akkor

k = \frac{n}{2}

a megoldás. Esetünkben

n = 100

, és így

k = 50

a_{k} = 2501

a keresett (egyetlen) legnagyobb érték, amelyen az átló áthalad.
Ha

n

páratlan,

\frac{n}{2}

nem egész, ezért a maximumhelyét a hozzá legközelebb eső egész értékek között kell keresni; a korábbi átalakításokból látható, hogy mind

[\frac{n}{2}]

, mind

[\frac{n}{2}] + 1

megfelelő, azaz ilyenkor két legnagyobb érték van.

Thiry Gábor (Érd, Horváth A. Gimn., 12. évf.)