Feladat: F.3199 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Birkner Tamás ,  Izsák Rudolf ,  Lengyel Tímea ,  Lukács László ,  Mansur Boase ,  Pap Júlia ,  Pataki Péter ,  Vaik István 
Füzet: 1998/április, 227 - 228. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Szinusztétel alkalmazása, Körülírt kör, Párhuzamos szelők tétele, Pont körre vonatkozó hatványa, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/november: F.3199

Az ABC háromszög C-nél lévő szögét n egyenlő részre osztó egyenesek az AB oldalt a C1, C2, ..., Cn-1 pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy az
1AC1-1AB1Cn-1B-1AB(4)
tört értéke nem függ n-től.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Hozzuk egyszerűbb alakra az emeletes törtet:
1AC1-1AB1Cn-1B-1AB=AB-AC1AB-Cn-1BCn-1BAC1=BC1BCn-1AC1ACn-1.

A C1 és Cn-1 pontokra igaz, hogy ACC1=BCCn-1. Megmutatjuk, hogy ha D és E az AB oldal olyan pontjai, amelyekre ACD=BCE=φ, akkor BDBEADAE=(BCAC)2, ami eredeti feladatunknak általánosítása. Legyen DCE=δ, CAB=α és CBA=β (lást az 1. ábrát). Ekkor a szinusztételt alkalmazva a BCD, BCE, ACD, ACE és ABC háromszögekben, kapjuk, hogy
BDBEADAE=(CDsin(φ+δ)sinβ)(CEsinφsinβ)(CDsinφsinα)(CEsin(φ+δ)sinα)=sin2αsin2β=(BCAC)2.

 Mansur Boase (London, Anglia) dolgozata alapján

 
Megjegyzés. A bizonyítás során felhasználtuk, hogy D az AE szakaszon van, azaz 2φ<ACB. Ha 2φACB, az állítás akkor is igaz, a bizonyításon csak annyit kell módosítani, hogy φ+δ helyett φ-δ-t írunk.

 
II. megoldás. Ismét azt mutatjuk meg, hogy BC1BCn-1AC1ACn-1 állandó. Messe a CC1Cn-1 háromszög köré írható kör az AC és a BC szakaszokat a D és az E pontokban (2. ábra). Mivel a körben DCC1=ECCn-1, azért DC1=ECn-1, tehát a DE szakasz a szimmetria miatt párhuzamos AB-vel. Ezért a párhuzamos szelők tétele alapján BEAD=BCAC. Másrészt az A, illetve a B pontnak a körre vonatkozó hatványát kétféleképpen felírva kapjuk, hogy AC1ACn-1=ADAC és BC1BCn-1=BEBC. Ezeket felhasználva:
BC1BCn-1AC1ACn-1=BEBCADAC=BEADBCAC=(BCAC)2,
ami állandó.
 Pap Júlia (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján