Legyen az $ABCD$ tetraéder $ABC$ és $ABD$ lapjának lapszöge tompaszög. $D$-ből az $ABC$ lap $S$ síkjára állított merőleges a síkot $D\text{'}$-ben metszi (1. ábra). Mivel a két lap tompaszöget zár be, $D\text{'}$ az $S$ síkban az $AB$ egyenes másik partjára esik, mint $C$. Ezért a $DD\text{'}$ magasságvonal ‐ a $D$ ponttól eltekintve ‐ a tetraéderen kívül halad. Hasonló mondható el a $C$ csúcsból húzott magasságvonalról. Ha a tetraéder $DC$ élére illeszkedő lapok is tompaszöget zárnak be, akkor az $A$ és $B$ csúcsokból húzott magasságok is a testen kívül haladnak. Ilyen tetraéder létezik. A 2. ábra $ABCD$ tetraéderének $AB$ és $CD$ szemközti élpárja legyen pl. 6 egység hosszú, és mindkettő párhuzamos a rajz síkjával, távolságuk legyen 1 egység, és a vetületük négyzet. Az $AB$, illetve $CD$ éleknél keletkező $\alpha$ lapszög felére $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\frac{\alpha }{2}=\frac{3}{1}$, ezért a lapszögek tompaszögek.
Ha az $AB$ és $CD$ szemközti éleknél keletkező lapszögek egyike tompaszög, a másik pedig hegyesszög, akkor pontosan két magasság halad a testen kívül. Ilyen tetraédert kapunk, ha az előbbi konstrukcióban $AB$-t 2 egységnél kisebbnek vesszük, minden egyéb adatot változatlanul hagyva.
Megmutatjuk, hogy pontosan három olyan magasságvonal is lehet, amelyik a tetraéderen kívül halad. A 3. ábrán $ABC$ szabályos háromszög, a $D$ csúcs vetülete a háromszög középpontja, $F$ a $BC$ él felezőpontja. A $D$-ből húzott magasságvonalnak van egy szakasza a testen belül. Ha az $ADF\sphericalangle$ tompaszög, a másik három magasságvonal a testen kívül halad.
A szabályos tetraédernek egyik magassága sem halad a testen kívül.
Hátravan még annak az esetnek a vizsgálata, hogy pontosan egy magasságvonal haladhat-e a tetraéderen kívül. Erre nemleges választ adunk. Az 1. ábra alapján látható, hogy ha $D\text{'}$ az $ABC$ háromszögön kívüli pont, akkor legalább egy lapszög tompaszög, és lesz legalább még egy, a testen kívül haladó magasság.
Összegezve megállapíthatjuk, hogy a tetraéder 0, 2, 3 vagy 4 magasságvonala haladhat a testen kívül.