A feladat megoldását négy esetre bontjuk.
1. $K$ és $M$ egybeesik.
Az $ABC$ háromszögben ez csak úgy lehetséges, ha pl. a $C$-ből húzott magasságvonal az $AB$ oldalfelező merőlegese is. De akkor $CA=CB$. Hasonlóan következik, hogy $AB=AC$, tehát a háromszög szabályos. Ugyanilyen gondolatmenettel megmutatható, hogy a háromszög akkor is szabályos, ha $M$ és $S$, vagy $S$ és $K$ esik egybe.
2. $O$ és $M$ egybeesik.
Ekkor az ugyanabból a csúcsból induló szögfelező és magasság egybeesik, mert van két (különböző) közös pontjuk. Tehát mindhárom szögfelező merőleges a szemközti oldalra, ezért a háromszög oldalai páronként egyenlők, így az most is szabályos.
3. $O$ és $S$ egybeesik.
Ekkor ugyanabból a csúcsból induló szögfelező és súlyvonal egybeesik, mert van két (különböző) közös pontjuk. Mivel a súlyvonal felezi a szemközti oldalt, a szögfelező pedig ezt az oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, azért a háromszög oldalai páronként egyenlők, azaz a háromszög szabályos.
4. $O$ és $K$ egybeesik.
Vegyük figyelembe, hogy pl. a $C$-ből induló szögfelező felezi a körülírt kör (egyik) $AB$ ívét, és a felezőponton $AB$ felezőmerőlegese is átmegy. Ezért a $c$-ből húzott szögfelező és az $AB$ oldalfelező merőlegese egybeesik. A 2. esetben elmondottak szerint a háromszög most is szabályos.
Tehát, ha az $S$, $M$, $O$, $K$ pontok közül kettő egybeesik, akkor a háromszög szabályos.